Potencias de un entero (módulo m)

Son los residuos que deja $a^n$ en la división entre el módulo $m$. Por ejemplo, si $a=2, m=17$ la potencia $2^5=32$ deja el residuo 15 en la división entre 17..

Si en las potencias sucesivas de un entero $a$ se toman solamente los residuos que dejan en la división entre un módulo $m$, la sucesión (geométrica) de esas potencias, ya transformada en residuos, se repite en ciclos de cierta longitud.

Esto sucede debido a que los residuos posibles son solamente $m$ y, en consecuencia, en la sucesión de potencias debe repetirse al menos un residuo. Este fenómeno o peculiaridad de las sucesiones de potencias permite estudiar las soluciones de ecuaciones de congruencias como $x^n\equiv a (\mod m)$.

La puerta de entrada al estudio de estas ecuaciones congruenciales son los conceptos matemáticos de orden de un número $a$ respecto al módulo $m$ (el cual permite calcular la longitud del ciclo) y el de raíces primitivas de un módulo $m$ (el cual da lugar, a su vez, al concepto de logaritmo discreto).

Ejemplo

Sea $a=2$ y consideremos las potencias 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024. Ahora tomemos los residuos que resultan al dividir cada uno de sus elementos entre $m=17$. Se obtiene la sucesión de residuos correspoindiente 1,2,4,8,16,15,13,9,1,2,4. (Se deja al lector la verificación.)

Se puede observar que las potencias del 11 en adelante dejarían los residuos 8,16,15, etc. Por ejemplo, 2^11=2048, y no es necesario hacer la división entre 17 para obtener el residuo: basta observar que debería ser el doble del residuo de 1024. Es decir, los primeros 8 residuos se repiten indefinidamente. Es en este sentido que se habla de ciclo.