Productos notables

Se les llama así en las matemáticas escolares a las identidades algebraicas que, como la diferencia de cuadrados, es conocimiento algebraico "enlatado" en una fórmula y listo para ser usado.

Contrario a una interpretación ingenua del principio pedagógico de evitar el "aprendizaje memorístico", los productos notables deben memorizarse, pues de otra manera de nada sirven.

Por ejemplo, la diferencia de cuadrados (igual a suma por diferencia) se escribe así: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Quien conoce la fórmula puede factorizar de inmediato la expresión $(a^2-9)$ pues, al tener la identidad disponible en su memoria, la reconoce al instante y escribe el lado derecho como $(a-3)(a+3)$.

E incluso en expresiones más complejas como  $5a^3-45a$, su factorización es fácil después de sacar el factor $5a$: $5a(a^2-9)=5a(a-3)(a+3)$. Si el estudiante puede hacer ese reconocimiento se dice que tiene sentido de la estructura algebraica.

Aparte de la diferencia de cuadrados, otros productos notables muy comunes son:

• Binomio al cuadrado: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
• Regla distributiva: $a(b+c+d)=ab+ac+ad$
• Trinomio al cuadrado: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
• Binomio al cubo: $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$
• Trinomio al cuadrado: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
• Suma de cubos: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
• Diferencia de cubos: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$