Reducción al absurdo

Método de demostración en matemáticas basado en el principio lógico de la transferencia deductiva de la verdad (desde las premisas a la conclusión) y en la ley del tercero excluído. Procede de la siguiente manera:

• 1) Se quiere demostrar la proposición "si p entonces q"
• 2) Se niega la proposición que se quiere demostrar, es decir, se supone falsa. Se parte entonces de "p pero no q"
• 3) Se inicia la cadena deductiva y se logra una contradicción, un absurdo.
• 4) Se concluye que, de acuerdo al principio de transferencia de la verdad, "p pero no q" no puede ser verdadera.
• De aquí que, por el tercero excluído, "si p entonces q" es verdadera.

Instancia de uso

1. Proposición: Si un número $ n $ es tal que $n^2=2$, entonces $ n $ no es racional
2. Negación: El número $ n $ es tal que $n^2=2$ y $n=p/q$ con $p, q$ enteros positivos
3. Cadena deductiva:

• 3.1. Se puede suponer p y q coprimos sin pérdida de generalidad (pues si así no fuera, se podrían cancealr todos sus factores comunes y de cualquier manera podríamos empezar con la condición de coprimalidad);
• 3.2.De aquí que $p^2=2q^2$;
• 3.3. Se sigue que p es par, digamos $p=2p_1$
• 3.4. De aquí que $4p_1^2=2q^2$ o $2p_1^2=q^2$.
• 3.5. Se sigue que q es par. Un absurdo, pues p y q no tienen factores comunes

4. Por tanto, la proposición "$n^2=2$ y $n=p/q$" no puede ser verdadera.

5. Por el principio del tercero excluido, la que es verdadera es la proposición que queríamos demostrar.