Experimentando un poco con números pequeños se puede ver que (x,y)=(1,2) resulta en k=3. Lo mismo es cierto para (x,y)=(1,1). También se puede observar que x=y resulta en (2x2+1)/x2=2+1/x2, lo cual obliga a x=±1 y se obtiene de nuevo k=3. Ya tenemos tres casos y en los 3 se tiene k=3. Conjetura: k=3. Refuerzo: y=mx obliga x=1 y se obtiene de nuevo 3 (y tenemos toda una familia de soluciones con k=3).
Vamos a demostrar que todos los valores enteros posibles de k consisten en el singulete {3}. Para ello consideremos una solución (a,b) --que existe, como
se exhibió en los ejemplos-- y k fija. Vamos a "mover" a pero manteniendo la k fija. Es decir, consideremos la ecuación (z2+b2+1)/zb=k, la cual da lugar a la cuadrática z2−kbz+b2+1=0. Por construcción, z=a es una de sus raíces. La otra raíz z1, según Vieta, debe cumplir z1=kb−a=(b2+1)/a.
De la primera ecuación de Vieta se infiere que z1 es entero; de la segunda, que es positivo (pues a y b son enteros positivos). Tenemos ahora otra solución (z1,b) de la ecuación original que resulta en un cociente k.
Podemos suponer, sin pérdida de generalidad (dada la simetría entre x y y), que 1≤b≤a. Si a=b, se puede concluir que a=1=b, y k=3. Ésta es entonces la solución minimal (en el sentido de que minimiza la suma a+b).
Si, por otro lado, b fuese menor que a entonces b2+2b+1≤a2. Es decir, b2+1≤x2−2b. De aquí que z1 sea menor que a. Hemos logrado entonces una solución a la ecuación original que tiene una suma menor que la solución inicial: z1+b es menor que a+b. Es decir, gracias a Vieta, hemos "saltado" de una solución inicial (a,b) a una solución (z1,b) con suma menor, y el mismo valor del cociente k.
Si z1=b, obtenemos k=3 (como ya se explicó). De otra manera, repitiendo la cadena de deducciones, pero con solución inicial (z1,b) y soltando z1, podemos saltar, gracias a Vieta, a una solución (z2,b) con una suma menor que z1+b.
Claramente, continuando los saltos de Vieta tantas veces como sea necesario, eventualmente se tiene que llegar a una solución (zn,b) con zn=b, con lo cual b=zn=1 y k=3.
En resumen, todos los posibles valores de k se reducen al singulete {k}. Como se quería.
Nota:
El procedimiento anterior es constructivo. Hay dos variantes de la demostración. Una es iniciar la demostración suponiendo (a,b) la solución minimal con a=b; en busca de una contradicción se supone que a es mayor que b y en el primer salto de Vieta se logra la contradicción y se concluye que a y b tienen que ser iguales.
En la otra variante, no se supone minimalidad de la solución (a,b) pero sí
que a mayor que b (bajo la hipótesis general de que a≥b) buscando la contradicción para concluir que no es posible que a mayor que b. En esta variante es donde se argumenta con descenso infinito de números positivos, lo cual, de acuerdo al principio del buen orden es imposible.