Fórmulas de Vieta

En un polinomio de la forma $f(t)=t^2-(x+y)t+xy$ se sabe que al sustituir la $t$ por $x$ el polinomio se anula (lo mismo pasa con $y$). Esta propiedad se conoce como fórmula de Vieta para la ecuación cuadrática. Para un polinomio de grado 3, con raíces $x,y,z$ se tiene $f(t)= t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz$. En el problema que nos ocupa, las ecuaciones simultaneas sugieren que $x,y,z$ se pueden interpretar como las raíces de un polinomio de grado 3.

Pero nos falta el coeficiente de $t^2$. Sin embargo, es fácil de calcular a través del trinomio al cuadrado. Según las dos primeras ecuaciones del sistema, $4=(x+y+z)^2=14+2(xy+yz+zx)$. De aquí que $xy+yz+zx=-5$.

De esta manera, el problema se transforma a uno encontrar las raíces del polinomio $f(t)=t^3-2t^2-5t+6$. Y se puede ver --después de algunos tanteos-- que una de las raíces es $t=1$. Es decir, $f(t)=(t-1)(t^2-t-6)$. Las otras dos raíces se obtienen observando --de nuevo por Vieta-- que $-6=3(-2)$ y $-1=3-2$. Con lo que se puede comprobar que $f(t)=(t-1)(t+2)(t-3)$. Es decir, las raíces del polinomio son $1,-2,3$.

Como las ecuaciones del sistema que se nos pide resolver son simétricas (es decir, permutando las variables las ecuaciones permanecen sin cambio), todas sus soluciones $(x,y,z)$ se obtienen permutando de todas las formas posibles las raíces obtenidas. Son 6: $(1,-2,3), (1,3,-2), (-2,1,3), (-2,3,1), (3,1,-2), (3,-2,1)$.