Fórmulas de Vieta

Las fórmulas de Vieta relacionan las raíces de un polinomio con los coeficientes de éste. Específicamente, si el polinomio es de grado $n$, sus coeficientes son los polinomios simétricos elementales de sus raíces.

Si tenemos un polinomio cuadrático, y si las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente, $x^2+ax+b=0$, son $p$ y$q$, entonces se puede factorizar como $x^2+ax+b=(x-p)(x-q)$ --por definición de raíz. (Para simplificar la notación hemos elegido un coeficiente 1 para la $x^2.$)

Ahora expandimos el lado derecho y obtenemos $x^2+ax+b=x^2-(p+q)x+pq.$ Tenemos a la vista las fórmulas de Vieta para $n=2$: $a=-(p+q), b=pq.$ En otras palabras, el producto de las raíces es el término independiente $b$ y su suma es el opuesto del coeficiente $a$ de la $x$.

Un conjunto similar de relaciones se puede encontrar para cúbicas ($n=3$) expandiendo el lado derecho de la identidad $x^3+ax^2+bx+c=(x-p)(x-q)(x-r).$ Resultan las fórmulas de Vieta para $n=3$: $a=-(p+q+r), b=pq+qr+rp, c=-pqr.$ (Notemos que los coeficientes de la ecuación cúbica son los polinomios simétricos elementales en las variables $p,q,r$ --las raíces-- aunque con signos alternados.)

El lector no tendrá dificultad en generalizar el método de obtener las fórmulas de Vieta para $n$ mayor que 3. (Aunque para el problem solving de concurso, con cuadráticas y cúbicas basta.)