Polinomios simétricos en dos variables: resultado fundamental

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 10:26.

Sea $n$ un entero no negativo y $a,b$ números reales.

a)Demostrar la identidad

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})$

b)Demostrar que cualquier polinomio simétrico en las variables $x,y$ de la forma $x^n+y^n$ , puede expresarse en términos de los polinomios simétricos elementales $\sigma_1=x+y, ~\sigma_2=xy$

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Para el inciso a) sumar y restar monomios adecuados, y factorizar. Para el inciso b) usar el resultado en a) y aplicar inducción matemática.

Nota: Para simplificar la notación puede ser conveniente denotar con $S_n$ el polinomio simétrico $x^n+y^n$ . De esta manera, el resultado en a) se escribiría como $S_n=\sigma_1 S_{n-1}+\sigma_2 S_{n-2}$

Ver también:

Polinomios simétricos elementales

Ver también:

Inducción matemática

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