Polinomios simétricos en tres variables: resultado fundamental

Sea $n$ un entero no negativo y $x,y,z$ números reales.  Con la notación usual, defínanse los polinomios simétricos elementales en tres variables como $\sigma_1=x+y+z,~\sigma_2=xy+yz+zx, ~\sigma_3=xyz$  y $S_n=x^n+y^n+z^n$.

Demostrar:

a) $S_n=\sigma_1\cdot S_{n-1}-\sigma_2\cdot S_{n-2}+\sigma_3\cdot S_{n-3}$, para $n\geq3$

b) $S_3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3$