Un acertijo algebraico

Las condiciones del enunciado se traducen a:
$$a+b+c=3$$
$$a^2+b^2+c^2=11$$
$$a^3+b^3+c^3=27$$

Como se sabe, los polinomios simétricos en tres literales de la forma $S_n=a^n+b^n+c^n$ se dejan expresar en términos de los polinomios simétricos elementales $p=a+b+c,~q=ab+bc+ca,~r=abc$. Y también sabemos que los polinomios simétricos elementales son los coeficientes de la ecuación cúbica $(x-a)(x-b)(x-c)=0$. Es decir, de $x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0$.

Ahora bien, sabemos que $a+b+c=3$, por dato. Y $ab+bc+ca$ se puede expresar en términos de $a+b+c=3$ y $a^2+b^2+c^2$, de acuerdo a la identidad algebraica $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$. Es decir, $ab+bc+ca=1/2(3^2-11)=1/2(9-11)=-1$.

Así que como $a,b,c$ son raíces de $x^3-3x^2-x-abc=0$, entonces podemos calcular $abc$, pues al ser $a,b,c$ raíces, cumplen:
$$a^3-3a^2-a-abc=0$$
$$b^3-3b^2-b-abc=0$$
$$c^3-3c^2-c-abc=0$$

Cuya suma es $a^3+b^3+c^3-3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)-3abc=0$. Es decir, $27-3(11)-3-3abc=0$. De aquí que $abc=-3$. Entonces $a,b,c$ son raíces de la ecuación $x^3-3x^2-x+3=0$.

Ahora procedemos de regreso:

$$a^3-3a^2-a+3=0$$
$$b^3-3b^2-b+3=0$$
$$c^3-3c^2-c+3=0$$

Pero, para resolver nuestro problema, es conveniente ponerlas de este otro modo:

$$a^4-3a^3-a^2+3a=0$$
$$b^4-3b^3-b^2+3b=0$$
$$c^4-3c^3-c^2+3c=0$$

Sumando se obtiene: $a^4+b^4+c^4-3(27)-11+3(3)=0$. De aquí que $a^4+b^4+c^4=83$

Otra solución

Conociendo la recurrencia $S_n=pS_{n-1}-qS_{n-2}+rS_{n-2}$ se obtiene de inmediato $S_4=pS_3-qS_2+rS_1=3(27)-q(11)+r(3)=81-11q+3r$. La $q$ ya la calculamos antes y es -1. Así que tenemos $S_4=81-11(-1)+3r=0$. O sea $S_4=92+3r=0$. Y la $r=abc$ se calcula como en la primera  solución. La ventaja de esta solución es que se va uno directo a calcular $S_4$. La primera solución usa el mismo método que el usado para calcular la recurrencia con la que empieza ésta.