Sea $x$ un número real. Determina la solución de la siguiente ecuación:
\[
\frac{x^2 + 1}{1}+\frac{x^2 + 2}{2}+ \dots + \frac{x^2 + 2024}{2024} = 2024
\]P1. Ecuación cuadrática con sumatoria
Sea $x$ un número real. Determina la solución de la siguiente ecuación:
\[
\frac{x^2 + 1}{1}+\frac{x^2 + 2}{2}+ \dots + \frac{x^2 + 2024}{2024} = 2024
\]»
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Observe que para los 2024
Observe que para los 2024 términos sucede lo siguiente:
Sea $k$ un entero con $1 \leq k \leq 2024$. Entonces $$\frac{x^2+k}{k}=\frac{x^2}{k}+\frac{k}{k}=\frac{1}{k}x^2+1$$
Al tener 2024 términos, entonces al final quedarán 2024 1's sumados, entonces queda lo siguiente: $$x^2(1+\frac{1}{2}+ \dots + \frac{1}{2024})+2024=2024$$
$$\iff x^2(1+\frac{1}{2}+ \dots + \frac{1}{2024}) = 0$$
Al ser la sumatoria claramente mayor que 0 porque todos sus terminos son mayores que 0, entonces $x^2=0 \iff x=0$
NOTA: escribi desde el cel y no me acuerdo del simbolo de sumatoria xD, tmb no se si este todo bien jaja. Ya lei aops y si es, la agrego a soluciones (editado)
Sì, muy bien. ¡Es correcta!