P3. Triángulo, Altura y punto en Mediatriz.

Al ser $MB=MC$, $\angle MBC = \angle MCB$. Por el cíclico $DBEM, \angle DEM = \angle DBM$, y por el cíclico $DFMC, \angle MCD= \angle MFE$ (esto porque $\angle MFE$ es un ángulo externo al ángulo opuesto de $\angle MCD$). Com esto se puede concluir que $FM=ME$. 

Ahora, observe que $\angle BGD= 90- \angle MBC$ gracias a que $\angle GDB=90$. Esto va a implicar que el $\angle HGM= \angle BGD$ por ser opuestos por el vértice. 

También, se puede observar que $\angle DHC=90- \angle BCM$ por la misma razón que $EDC=90$. Pero como sabemos que $\angle MBC=  \angle MCB$, entonces $\angle MGH = \angle MHG \Rightarrow MHE= \angle MGF$. Con esto es fácil observar la congruencia de $FGM$ con $HEM$, entonces $FG=HE$. 

Vamos a traducir el problema. 

$$EG=FH \iff FE-FG=FE-EH \iff -FG=-EH \iff FG=EH$$

Como llegamos a que esto es cierto, entonces el problema esta terminado.