Identidad de Gauss

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 12:44.

a) Demostrar la identidad algebraica $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

b) Demostrar la identidad $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$

c) Usar el resultados del inciso anterior para demostrar que si $a,b,c$ son reales positivos entonces se cumple la desigualdad $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0$

d) Demostrar la desigualdad de las medias geométrica y aritmética para tres variables: Para $a,b,c$ reales positivos se cumple la desigualdad $abc \leq (\frac{a+b+c}{3})^3$ , y la igualdad se cumple si y sólo si $a=b=c$

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Expresar el lado izquierdo en términos de polinomios simétricos elementales.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

1 Ene 2010

Solución:

En la notación de polinomios simétricos,

$S_3=a^3+b^3+c^3, ~\sigma_1=a+b+c, ~\sigma_2=ab+bc+ca$ , ~\sigma_3=abc$

En esta notación, el lado izquierdo de la Identidad de Gauss

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b~2+c^2-ab-bc-ca)$

se puede expresar como $S_3-3\sigma_3$ .

Según sabemos, por un resultado fundamental para los polinomios simétricos,

$S_3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+\sigma_3$

Así que el lado izquierdo de la Identidad de Gauss se convierte en

$S_3-3\sigma_3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3-3\sigma_3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2$

Y la factorización se hace evidente.

Los incisos restantes se dejan al lector.

Ver también:

Polinomios simétricos en tres variables: resultado fundamental

Ver también:

Polinomios simétricos elementales

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