Número de residuos cuadráticos

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En el sistema de residuos (respecto a un primo impar p1,2,,p1, exactamente la mitad de ellos son residuos cuadráticos de p


 

Demostración(es)
Demostración: 

Primero una "demostración" con un ejemplo. Sea p=11.
k------1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
k^2----1   4   9   5   3   3   5   9   4    1

¿Qué vemos? Una simetría en los residuos cuadráticos ¿no es cierto?

Bueno, pues esta simetría se puede demostrar así: Sea k uno de los elementos del sistema de residuos. Entonces k2 es equiresidual con (pk)2 en la división entre p. Para verlo basta con desarrollar el binomio: (pk)2=p22kp+k2. En otras palabras, hay  (p1)/2 pares equiresiduales en 12,22,,(p1)2.

En resumen, el número de residuos cuadráticos es a lo más (p1)/2 (son los primeros (p1)/2 o menos).

Veamos si entre los primeros (p1)/2 hay dos equiresiduales. Para ello supongamos que j2 es equiresidual con k2, con j,k cualesquiera dos de 1,2,,(p1)/2. Esto significaría que k2j2 es múltiplo de p. Y como k2j2=(kj)(k+j), entonces p divide a uno de los factores. Pero k+j es menor que p (cada sumando es a lo más (p1)/2) . Luego, es primo con p. De aquí que kj sea múltiplo de p. Así que j=k. Se concluye que ningún par de cuadrados entre los primeros (p1)/2 de 12,22,,(p1)2 son congruentes entre sí. Y como entre esos primeros (p1)/2 residuos no hay dos equiresiduales, entonces el número de residuos cuadráticos en 1,2,,p1 es al menos (p1)/2. Pero ya habíamos demostrado que eran a lo más (p1)/2. Luego, su número es
(p1)/2.

Ver también: 
Residuos cuadráticos
Ver también: 
Lema de Euclides