En la figura se muestran los puntos X,Y,Z en las prolongaciones de BC,CA,AB, respectivamente, para enfatizar el hecho de que --lo mismo que en el teorema de Ceva-- "lado" debe entenderse como la recta definida por el lado. La construcción auxiliar es una paralela BW al lado AC. El trazo de esta paralela es sugerido por la configuración y el objetivo de demostrar que el producto de las razones es 1 (mediante cancelaciones).
La condición es necesaria (si colineales, entonces el producto de razones es 1)
Supongamos entonces que X,Y,Z son colineales. Vamos a demostrar que (AZ/ZB)(BX/XC)(CY/YA)=1. Para la primera razón focalicemos el triángulo AZY con BW paralela a la base AY y apliquemos Tales: AZ/ZB=AY/BW. De manera similar, para la segunda razón, focalizamos el triángulo BWX con la paralela CY a la base BW: BX/XC=BW/CY. Ahora sustituimos y ya está. (La sustitución se deja como ejercicio para el lector.)
La condición es suficiente (si producto de razones es 1 entonces colineales)
Si XZ cortara en Y′ el lado CA, entonces aplicamos Menelao con X.Y′,Z. Resulta entonces que (AZ/ZB)(BX/XC)(CY′/Y′A)=1. Pero,por hipótesis, (AZ/ZB)(BX/XC)(CY/YA)=1. De aquí que CY′/Y′A=CY/YA. Pero tanto Y como Y′ están sobre AC y dividen a AC en la misma razón. Por lo tanto Y coincide con Y′. (Sobre un segmento, el punto que lo divide en una razón dada es único.)
Segmentos dirigidos
Segmentos dirigidos (distancia signada).
Convención geométrica según la cual se elige una dirección del segmento AB (por ejemplo de A a B) como positiva. En esta convención se dice que AB es la magnitud positiva del segmento y BA es la magnitud negativa del segmento. Si A,B,C son puntos colineales y aparecen en ese orden, se acostumbra decir, según esta convención, que AB+BC=AC,AB−CB=AC. Esta convención de distancias signadas es obligatoria en el teorema de Menelao.
Sin embargo, si uno hace la aclaración de que al menos uno de los puntos de Menelao está en la prolongación de su lado correspondiente (dado que una recta no puede cruzar internamente los tres lados de un triángulo), la distancia signada se puede obviar. De hecho, es necesario suponer que exactamente uno de los puntos está en la prolongación de su lado o bien todos los tres están en las prolongaciones de sus lados. En cualquier otro caso (ninguno o dos puntos en las prolongaciones) lo que se tiene es el teorema de Ceva. (Las gracias le sean dadas a Jesús Rodríguez Viorato por su amable observación.)
La formulación propuesta por Alex Bogomolny --para evitar el signo en el teorema de Menelao-- es así:
Sean F,D,E tres puntos que caen respectivamente en los lados AB,BC,AC del triángulo ABC o sus prolongaciones. Suponga que solamente uno o todos los tres puntos caen en las prolongaciones de sus lados. Entonces los puntos son colinelaes si y sólo si (AF/BF)(BD/CD)(CE/AE)=1.
Ver su multipremiado sitio web http://www.cut-the-knot.org/Generalization/Menelaus.shtml
En resumen, lo que quería aclarar con este comentario es que, en rigor, se debería usar la distancia signada para el teorema de Menelao (en la demostración del recíproco, sobre todo). Y que si se quiere evitar el signo, entonces hay que aclarar que no todos los tres puntos caen dentro de los lados como lo sugiere Bogomolny. (Y que no basta con decir que eso es obvio dado que ninguna recta puede cortar los tres lados de un triángulo --en cierto momento de la historia de las matemáticas lo que era obvio se volvió muy complicado de establecer...)
Digamos para finalizar que el aprendiz debería comprender que la distancia signada permite discriminar automáticamente los casos en que sucede Ceva.
Los saluda
jmd
PD: el enunciado del teorema de Menelao no lo modifiqué para que quede constancia de mi imprecisión y como una lección para los adolescentes interesados en las matemáticas sobre la utilidad de usar la distancia signada. (El enunciado es incorrecto, pero lleva consigo una lección para el aprendiz.)
A los estudiantes interesado
A los estudiantes interesado en profundizar sobre el concepto, los invito a leer el post segmentos dirigidos. Este post lo retomé de lo que ya antes había escrito en Dokuwiki, por eso no aparece en Drupal como contenido nuevo.