Teorema de Ptolomeo

$AC \times DB = AB \times DC + AD \times CB$

Los ángulos $\angle BAC$ y $\angle BDC$ son iguales. ¿Por qué? Porque tienen la misma cuerda común $BC$

Construye el ángulo $\angle ABE = \angle DBC$

Entonces los triángulos $\triangle ABE = \triangle DBC$ son semejantes. ¿Por qué? Porque tienen dos pares de ángulos iguales: $\angle BAC = \angle BDC, \angle ABE = \angle DBC$

Por lo tanto, $\frac{AE}{AB} = \frac{DC}{DB}$. O bien, $AE \times DB = {AB}\times{DC} \hspace{10pt}(1)$

Agrega el ángulo $\angle{EBD}$ en cada lado de la ecuación $\angle{ABE}=\angle{DBC}$. Esto nos da $\angle{ABD}=\angle{EBC}$.

Pero $\angle{BDA}=\angle{BCE}$ (cuerda en común $AB$).

Por lo tanto, los triángulos $\triangle{ABD}$ y $\triangle{EBC}$ son semejantes. ¿Por qué? Porque tienen los pares de ángulos iguales $\angle{ABD}=\angle{EBC}$ y $\angle{BDA}=\angle{BCE}$. 

Por lo tanto, $\frac{AD}{DB}=\frac{EC}{CB}$. O bien, ${EC}\times{DB}={AD}\times {CB} \hspace{10pt}(2)$

Sumando las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ se obtiene: $(AE+EC)\times{DB}=AB\times{DC}+AD\times{CB}$

O bien, $AC\times{DB}=AB\times{DC}+AD\times{CB}$

Como queríamos.