Ley de cosenos

Enviado por jose el 25 de Enero de 2009 - 14:54.
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Si llamamos  $a$,  $b$ y $c$ a las longitudes de los lados $ BC$, $CA$ y $AB$ del triángulo $ ABC$. Entonces, la siguiente relación entre los lados del triángulo y el coseno del ángulo en el vértice $A$ es llamada Ley de los cosenos.

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$$

La relación nos permite calcular un lado si se conocen las medidas de los otros dos lados y ángulo entre ellos.

Demostración(es)
Demostración: 

 1

Dibuja un cuadrado externo en cada lado del triángulo y las alturas de éste, prolongándolas hasta seccionar los cuadrados

 

 2

$a^2=A_1+A_2, b^2=B_1+B_2,c^2=C_1+C_2$

 

3

Expresar las áreas de las secciones rectangulares en términos de los lados y los cosenos de los ángulos y notar la igualdad de ciertas áreas.

 

4

$a^2=ac\cos{B}+ab\cos{C}=b^2+c^2-2bc\cos{A}$

Ver más demostraciones en en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines

Prueba de la ley de cosenos usando el Teorema de Ptolomeo

1. Trazar circuncírculo

2. Trazar paralela a AB por C

 

3. Notar que ABDC es un trapecio isósceles

4. Aplicar Ptolomeo

(Producto de diagonales = suma de productos de lados opuestos.)

$a^2=b^2+AB\times{CD}$

$AB=CD-2\times{AE}=c-2b\cos{A}$

$a^2=b^2+c(c-2b\cos{C})=b^2+c^2-2bc\cos{A}$


 

Ver también: 
Teorema de Ptolomeo
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Imagen de Fernando Mtz. G.

Otra demostración

Enviado por Fernando Mtz. G. el 26 de Enero de 2009 - 17:03.
en un triangulo ABC de lados a,b y c; trace la altura desde A a BC; llamesele h a la longitud y H al pie de esta altura. Sea BH=a-x y HC=x. por el teorema de pitagoras se tiene que h^2= c^2 -(a-x)^2 = b^2 -x^2 entonces: c^2= b^2+a^2 -2ax Pero x= b(cosC), por lo tanto c^2= b^2+a^2 -2ab(cosC) lo cual es analogo a lo que se quiere demostrar
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Imagen de jmd

Tu demostración es la más económica

Enviado por jmd el 26 de Enero de 2009 - 18:49.

Gracias por el comentario Fernando. Tu demostración es de hecho la más directa. Para que continues participando, cuando el tiempo te lo permita, te vamos a dar los permisos de colaborador. Esto te permitirá crear contenidos como problemas y soluciones, así como editar contenidos, en matetam. Por ahí te va a llegar el password a tu correo electrónico.  Los adolescentes interesados en las matemáticas (y nosotros)  van a encontrar tus colaboraciones muy instructivas...
Te saluda
jmd

PD: De hecho, las demostraciones que puso José están orientadas a fomentar el uso de otros teoremas de geometría y el razonamiento visual o diagramático. Sin embargo, son demostraciones en las cuales el argumento requiere conocimientos mucho menos conocidos que la ley de cosenos. En este sentido, tu demostración es la más económica...

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