Ley de cosenos

Versión para impresión

Si llamamos  $a$,  $b$ y $c$ a las longitudes de los lados $ BC$, $CA$ y $AB$ del triángulo $ ABC$. Entonces, la siguiente relación entre los lados del triángulo y el coseno del ángulo en el vértice $A$ es llamada Ley de los cosenos.

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$$

La relación nos permite calcular un lado si se conocen las medidas de los otros dos lados y ángulo entre ellos.

Demostración(es)
Demostración: 

 1

Dibuja un cuadrado externo en cada lado del triángulo y las alturas de éste, prolongándolas hasta seccionar los cuadrados

 

 2

$a^2=A_1+A_2, b^2=B_1+B_2,c^2=C_1+C_2$

 

3

Expresar las áreas de las secciones rectangulares en términos de los lados y los cosenos de los ángulos y notar la igualdad de ciertas áreas.

 

4

$a^2=ac\cos{B}+ab\cos{C}=b^2+c^2-2bc\cos{A}$

Ver más demostraciones en en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines

Prueba de la ley de cosenos usando el Teorema de Ptolomeo

1. Trazar circuncírculo

2. Trazar paralela a AB por C

 

3. Notar que ABDC es un trapecio isósceles

4. Aplicar Ptolomeo

(Producto de diagonales = suma de productos de lados opuestos.)

$a^2=b^2+AB\times{CD}$

$AB=CD-2\times{AE}=c-2b\cos{A}$

$a^2=b^2+c(c-2b\cos{C})=b^2+c^2-2bc\cos{A}$


 

Ver también: 
Teorema de Ptolomeo



Imagen de Fernando Mtz. G.

Otra demostración

en un triangulo ABC de lados a,b y c; trace la altura desde A a BC; llamesele h a la longitud y H al pie de esta altura. Sea BH=a-x y HC=x. por el teorema de pitagoras se tiene que h^2= c^2 -(a-x)^2 = b^2 -x^2 entonces: c^2= b^2+a^2 -2ax Pero x= b(cosC), por lo tanto c^2= b^2+a^2 -2ab(cosC) lo cual es analogo a lo que se quiere demostrar
Imagen de jmd

Tu demostración es la más económica

Gracias por el comentario Fernando. Tu demostración es de hecho la más directa. Para que continues participando, cuando el tiempo te lo permita, te vamos a dar los permisos de colaborador. Esto te permitirá crear contenidos como problemas y soluciones, así como editar contenidos, en matetam. Por ahí te va a llegar el password a tu correo electrónico.  Los adolescentes interesados en las matemáticas (y nosotros)  van a encontrar tus colaboraciones muy instructivas...
Te saluda
jmd

PD: De hecho, las demostraciones que puso José están orientadas a fomentar el uso de otros teoremas de geometría y el razonamiento visual o diagramático. Sin embargo, son demostraciones en las cuales el argumento requiere conocimientos mucho menos conocidos que la ley de cosenos. En este sentido, tu demostración es la más económica...