Trigonometría en el examen ENLACE 2010

Enviado por jmd el 11 de Abril de 2010 - 18:51.

A pesar de que en el aula nunca se haya abordado un tema, si ese tema está en el programa entonces seguramente habrá un reactivo en el examen ENLACE que lo necesite para resolverlo. Es el caso de la ley de cosenos: $a^2=b^2+c^2-2bccosA $ (donde A es el ángulo formado por los lados $b$ y $c$ de un triángulo).

Problema de trigonometría del examen ENLACE 2009

Se pide calcular la distancia $d$ y se dan como datos dos distancias y un ángulo. La figura es ya una sugerencia, pues simplifica toda la situación al cálculo del lado opuesto al ángulo en un triángulo. Bueno, es una sugerencia para quien pueda darle un sentido.

¿Y quién puede darle sentido a la figura? La respuesta es: solamente aquellos adolescentes que resolvieron en clase o en tarea dos o tres problemas parecidos. Es decir, problemas de geometría en los que es necesario aplicar la ley de cosenos.

Pero notemos que no le sirve de mucho al adolescente el resolver muchos problemas del tipo "Si conocemos los lados b=4, c=5 y el ángulo A=40º, calcular la longitud del tercer lado a."

¿Por qué no le sirve? Porque solamente tiene que sustituir en la fórmula de la ley de cosenos $a^2=b^2+c^2-2bccosA.$ Y la sustitución requiere un mínimo de habilidades cognitivas. La puede hacer poniéndose en automático.

Habría que decir también que incluso aquellos adolescentes que hicieron todas las tareas podrían quedarse atorados en un problema de este tipo. ¿Por qué? Por la ley del martillo. El martillo estaría quizá representado por el teorema de Pitágoras; y van a ver el triángulo como triángulo rectángulo.

Aunque se esperaría que pudieran descubrir que el triángulo no es rectángulo y buscaran en su mente otras herramientas, hasta encontrar la ley de cosenos.

El problema es importante para MaTeTaM porque ¡no tenemos nada de trigonometría! Y esto se debe quizá a que nosotros mismos lo consideramos un tema "avanzado". Un error que vamos a tratar de remediar en el futuro.

Es una lección que nos da el examen ENLACE. Porque lo básico de la trigonometría sí se puede abordar en la secundaria. Y no es necesario incluir las demostraciones rigurosas de los teoremas y las identidades. Se pueden enseñar y aprender para ángulos típicos como los que más abajo comento. Una demostración de la ley de cosenos está aquí (De hecho son dos demostraciones visuales. Y, a pesar de ser visuales, no son triviales.)

Pero antes de continuar con las reflexiones sobre la dificultad del problema vamos a resolverlo.

Solución del problema de trigonometría de ENLACE 2009

Primero hay que recordar el teorema, es decir, la fórmula $a^2=b^2+c^2-2bccosA$. E interpretar las literales como lados de un triángulo. La clave para que nunca se les olvide (esta clave yo la construí cuando estudiaba ingeniería en Tampico): focalizar el último término (-2bccosA) con signo incluido y recordar que el ángulo es el formado por los lados del coeficiente. De esta manera, las posibilidades son bc y A, ca y B, ab y C.

Ahora sí ya se puede sustituir. (Notemos que no se trata solamente de saber la fórmula; ésta no serviría de nada si no se sabe interpretar.) Entonces $d^2=36+64-2(48)cos60.$ Bueno, ya casi está pero aquí hay otro problema: ¿cuánto vale el coseno de 60? (Con calculadora no habría problema... si es que la saben usar... y no es de las de 20 pesos...)

Entonces, si no tienen una calculadora a la mano ¿cómo saber el valor de cos60? Chequen el siguiente truco que ayuda a la memoria (se les llama trucos mnemónicos).

Truco mnemónico para el coseno de 60 (y el de 30)

Todo mundo sabe que los ángulos de un equilátero son de 60. (Si no lo sabías ya te lo estoy diciendo... pero nota que estás desperdiciando miserablemente tu tiempo adolescente... ya sé que hay otras cosas que ocupan tu tiempo pero...)

Y si bajamos la altura, también todo mundo debería saber que su pie parte por la mitad a la base. (Bueno, esto seguramente no lo sabías pero ya te lo estoy diciendo, creeme que es cierto...)

Ahora imagina que el equilátero tiene lados de longitud 2. ¿Y qué tenemos ahí? Un triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa y un cateto. Entonces, la altura mide... bueno realmente no necesitamos la altura porque el coseno es igual al adyacente entre la hipotenusa y... entonces, cos60=1/2. (Y esto es válido para cualquier triángulo sin importar que no sea rectángulo como el del problema de ENLACE 2009.)

Ahora sí podemos hacer las cuentas: $d^2=100-48=52$. Y ya debería ser claro que la respuesta es la opción C.

Truco mnemónico para el coseno de 45 (y el seno)

Bueno, de pilón les paso este otro truco mnemónico para recordar el valor del coseno de 45. Imaginen un cuadrado de lado 1.

Si lo partimos en mitades por la diagonal, todo mundo debería saber que los ángulos rectos se bisecan con la diagonal, es decir, quedan de 45. Ahora sí ¿cuál es el coseno de 45? (Bueno aquí sí es necesario calcular la diagonal y es raíz de 2.) Se deja como ejercicio calcular el seno y el coseno de 45.

Tabla mnemónica de sen, cos, tan, de ángulos típicos

Y bueno, como una galantería de MaTeTaM les doy otra ayuda mnemónica para las funciones trigonométricas de los ángulos típicos. Les dejo de ejercicio mnemónico construir una clave para reproducirla de memoria. (Recuerden que $\pi$ radianes es 360 grados.)

	0	$$\frac{\pi}{6}$$	$$\frac{\pi}{4}$$	$$\frac{\pi}{3}$$	$$\frac{\pi}{2}$$
sen	0	$$\frac{1}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	1
cos	1	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{1}{2}$$	0
tan	0	$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$	1	$$\sqrt{3}$$	$$\not \exists $$

Digamos, para finalizar que el problema de ENLACE 2009 no es para nada trivial. Porque primero hay que traer a presencia la ley de cosenos. Y si todos los problemas de geometría los has resuelto con Pitágoras pues nunca se te va a ocurrir que deberías usar otra cosa. Pero incluso si recuerdas la ley de cosenos, ésta tiene sus detalles problemáticos: saber interpretarla en el contexto de un triángulo específico y recordar el valor de cos60. (El problema mide dos habilidades muy básicas: reconocimiento y reproducción.)

Los saluda
jmd

PD:

Todos fuimos alguna vez talla 29 and "don't know much trigonometry"

Herman Hermits en los 60's

http://www.youtube.com/watch?v=kx7Mdi3EF34

Joan Baez (en su plenitud en Munich 2007)

http://www.youtube.com/watch?v=lyhMc6kW5aE&feature=related

Y si sabes tocar la guitarra, aquí puedes ver las pisadas...

http://www.youtube.com/watch?v=FrsabFpN_rg