Los problemas de la ONMAS 2008

Enseguida se transcriben los problemas de la 8a Olimpíada Nacional de Matemáticas para Alumnos de Secundaria (ONMAS). Las soluciones las vamos a poner el proyecto dokuwiki (el cual va a migrar a mediawiki muy pronto).

Problemas para primer año (nivel 1)

1. Se tiene un cubo con las seis caras de diferente color y deseamos colocar los números del 1 al 6 en las caras del cubo (uno en cada cara). ¿De cuántas formas podemos realizar el acomodo, si deseamos que la suma de los números que están en caras opuestas sea 7?
2. Sean G una circunferencia de centro O y G’ una circunferencia que pasa por O. Sean A y B los puntos en que G interseca a G’ y escojamos un punto C en G’ distinto de A y B. Tracemos las líneas AC y BC y llamemos D y E a los puntos donde estas líneas cortan a G, respectivamente. Demuestra que AE es paralela a DB.
3. Juan tiene que llevar una ficha desde la esquina A hasta la esquina B, moviéndola por las líneas de la cuadrícula del tablero. La ficha puede moverse hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda (la ficha puede pasar varias veces por el mismo punto). Cada vez que la ficha se mueve en sentido horizontal, Juan anota el número de la columna por la que atraviesa. Cuando la ficha finalmente llega a la esquina B, Juan multiplica todos los números que anotó. Encuentra todos los caminos donde el producto de los números anotados por Juan es 8640. Justifica tu respuesta.
   (La figura consiste de una cuadrícula 5x5, la esquina A es la suroeste y la esquina B la noreste. ¿Alguien quiere hacerla?)
4. Francisco olvidó la clave de su tarjeta de banco y quiere realizar un retiro. Apenas recuerda que su clave contiene 4 dígitos y cumplen lo siguiente
   
   
   • ninguno de los dígitos es 0 ni es mayor que 5
   • no hay dígitos repetidos
   • no hay dos dígitos adyacentes que sean números consecutivos
   • la clave es un múltiplo de 4
   Por ejemplo, el código 5413 no cumple porque el 4 y el 5 son cifras consecutivas, y el código 1135 no cumple porque se repite el 1. Francisco, que tiene muy mala suerte, probó todos los casos posibles y funcionó hasta que probó la última posibilidad. ¿Cuántos casos probó Francisco?
5. Hay que escribir una fila de 20 dígitos de manera que la suma de tres dígitos consecutivos de la fila sea siempre múltiplo de 5. ¿Cuál es la máxima cantidad de dígitos distintos que puede haber en la filal.
6. En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC.

Problemas para segundo y tercero (nivel 2)

1. ¿Cuántos cuadrados perfectos dividen a $2008^{2008}$?
2. Sea G una circunferencia con centro O y G’ una circunferencia que pasa por O. Sean A y B loa puntos donde G interseca a G’ y escojamos un punto C en G’ distinto de A o B. Tracemos las líneas AC y BC y llamemos D y E a los puntos donde estas líneas cortan a G, respectivamente. Demuestra que AE es paralela a DB.
3. Encuentra todos los enteros positivos n menores que 1008 tales que el número $2^{2008}+2^n+1$ es un cuadrado perfecto.
4. En el triángulo ABC se traza la bisectriz CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC.
5. Observa el siguiente arreglo:
   

   

   ¿Cuál es la suma del primero y último términos de la columna 2008? (Por ejemplo, el primero y último términos de la columna 3 son 13 y 24, su suma 13+24=37.)
6. Se tienen 100kg de dulces en paquetes, se sabe que todos pesan menos de 10kg, si se piensan empacar en cajas de cartón que sólo resisten, sin romperse, hasta 30 kg ¿cuántas cajas son necesarias para garantizar que se transporten todos los paquetes de dulces?

Los saluda
jmd