Problemas y resultados del V selectivo (OMM_Tam_2011)

 Enseguida se presentan los problemas del quinto examen selectivo y los puntajes que los preseleccionados obtuvieron en él.

1.- Sean $A,B,C,D,E,F,G,H,I$ 9 puntos distintos en una circunferencia de radio $r$, de tal manera que $ABCD$ es un cuadrado y $EFGHI$ es un pentágono regular. Demuestra que hay un arco cuya longitud es no mayor que $\frac{\pi r}{20}$.

2. Sean $a,b,c$ 3 números enteros positivos con $(a,b)=k$ y $\frac{5a^2}{a+b}=kc$. Encuentra los posibles valores de $c$.

3.Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $AB=BC=CD$ y cuyos ángulos en $B$ y $C$ son de 90 y 150 grados, respectivamente. Sea $P$ la intersección de las mediatrices de los segmentos $AD$ y $BC$. Demostrar que $C$ es el circuncentro del triángulo $BPD$.

4.La joyera Eréndira mandó pedir 32 cajas con joyas para el diseño de diademas de oro. Las joyas de cada caja son iguales, pero no hay 2 cajas con joyas iguales. Las cajas provenien 17 de oriente y 15 de occidente. Eréndira hizo todos los diseños posibles de tal manera que 32 joyas distintas aparezcan en línea en la diadema y las joyas de oriente siempre se encuentran en uno de los extremos. Si el total de diseños los repartió entre 19 reinos por partes iguales ¿cuántas diademas sobraron al terminar la repartición? (Nota: Las diademas tienen un inicio y un final marcado, es decir, es distinta una diadema a la que resulta de voltearla.)