1. Dado el triángulo $ABC$, el punto $J$ es el centro del excírculo opuesto al vértice $A$. Este excírculo es tangente al lado $BC$ en $M$, y a las rectas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$, respectivamente. Las rectas $LM$ y $BJ$ se intersecan en $F$, y las rectas $KM$ y $CJ$ se intersecan en $G$. Sea $S$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$. Demostrar que $M$ es el punto medio de $ST$.
2. Si los reales positivos $a_2,a_3,\ldots, a_n$ satisfacen $a_2\cdot a_3 \cdots a_n=1$, demostrar que
$$(a_2+1)^2(a_3+1)^3\cdots(a_n+1)^n \gt n^n$$
3. El juego de la adivinanza del mentiroso es un juego para dos jugadores $A,B$. Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k,n$, los cuales son conocidos para ambos jugadores.
Al principio del juego, $A$ elige los enteros $x$ y $N$ con $1\leq x \leq N$. El jugador $A$ mantiene en secreto a $x$, y le dice a $B$ el verdadero valor de $N$. A continuación, el jugador $B$ intenta obtener información acerca de $x$ formulando preguntas a $A$ como sigue: en cada pregunta, $B$ especifica un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (que puede ser uno de los especificados en una pregunta anterior), y pregunta al jugador $A$ si $x$ pertenece a $S$.
El jugador $B$ puede hacer tantas preguntas de ese tipo como desee. Después de cada pregunta, el jugador $A$ debe responderla inmediatamente con un sí o un no, pero puede mentir tantas veces como quiera. La única restricción es que entre cualesquiera $k+1$ respuestas consecutivas, al menos una debe ser verdadera.
Después de que $B$ haya formulado tantas preguntas como haya querido, él debe especificar un conjunto $X$ de a lo más $n$ enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$, entonces $B$ gana; de otra manera, pierde. Demostrar que
- Si $n\geq 2^k$, entonces $B$ puede garantizar la victoria.
- Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n\geq1.99^k$ tal que $B$ no puede asegurarse la victoria.
Los saluda
jmd
| Adjunto | Descripción | Tamaño | |
|---|---|---|---|
 | imo_2012_problems_1st_day_english.pdf | Esta es la versión en inglés que está circulando en la Web de los problemas del primer día de la IMO 53 2012 | 95.66 KB |
El problema dos está mal
El problema dos está mal escrito todos los factores del producto son de la forma $(1 + a_i) ^i$
Gracias Lalo, pero por favor
Gracias Lalo, pero por favor danos la fuente. Acabo de atachar el archivo PDF de la AoPS (en inglés) y no viene como tú dices. (En la página oficial todavía no los ponían anoche...)
Perdón, yo soy el cumplable
Perdón, yo soy el cumplable de la confusión. Ayer en la noche, guiado por la observación de Lalo, cambié las fórmulas del problema 2. Y olvidé escribir un comentario para señalar que ya lo había atendido.
La fórmula antes decía así: $(a_2+1)^2(a_3+1)^2 \ldots (a_n)^n > n^n$.
Saludos y una disculpa
Solución del problema 2 (Hay
Solución del problema 2 (Hay que darle descargar, en dropbox no se ve)
https://www.dropbox.com/s/2lxrzmv7zb5w8z9/IMO%202012%20-%202.pdf
No me gustó este problema tampoco, ya que se resuelve con una sola idea (Aplicar MA-MG de cierta manera). Si se te ocurre esa idea, es muuuuy dificil no terminar. Si no se te ocurre, hay altas probabilidades de no sacar algun punto. Por lo que va a haber muy pocos puntos parciales.
Bueno, yo tuve que usar
Bueno, yo tuve que usar cálculo para demostrar esa desigualdad, pero no había visto una manera de hacerlo sin cálculo. Me gustó la demostración que compartes.
Pero tienes mucha razón, si no usas esa desigualdad es muy probable que no salga. ¿Conoces alguna demostración que no pase por esa desigualdad o algo equivalente? Que sea completamente distinto.
Pero definitivamente se tratará de un problema de uno, dos o siete puntos.
Pues las otras soluciones que
Pues las otras soluciones que vi implicaban sacar el mínimo de alguna función, incluyendo una donde vi una sustitución con logaritmos, pero terminan usando cálculo. Vi otra donde utiliza una sustición, pero al final se termina usando una desigualdad muy parecida a la solución que subí.
Algo que intenté usar, pero con poco éxito, fue la desigualdad de Bernoulli. Sin embargo, solamente logré obtener una cota de $n!$ y no la de $n^n$