Julio 2012
ORO para México --en la IMO 2012
Felicidades para la delegación mexicana. Y obviamente para Diego.
Los saluda
jmd
IMO 2012 (día 2)
4. Hallar todas las funciones f:Z→Z que cumplen la siguiente igualdad:
f(a)2+f(b)2+f(c)2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).
para todos los enteros a,b,c que satisfacen a+b+c=0
(Z denota el conjunto de los números enteros.)
5. Sea ABC un triángulo tal que ∠BCA=90, y sea D el pie de la altura desde C. Sea X un punto interior del segmento CD. Sea K el punto del segmento AX tal que BK=BC. Análogamente, sea L el punto del segmento BX tal que AL=AC. Sea M el punto de intersección de AL y BK. Demostrar que MK=ML
6. Hallar todos los enteros positivos n para los cuales existen enteros no negativos a1,a2…,an tales que
Los problemas de la IMO 2012 (primer día) --Mar del Plata, Arg.
1. Dado el triángulo ABC, el punto J es el centro del excírculo opuesto al vértice A. Este excírculo es tangente al lado BC en M, y a las rectas AB y AC en K y L, respectivamente. Las rectas LM y BJ se intersecan en F, y las rectas KM y CJ se intersecan en G. Sea S el punto de intersección de las rectas AF y BC. Demostrar que M es el punto medio de ST.
2. Si los reales positivos a2,a3,…,an satisfacen a2⋅a3⋯an=1, demostrar que
(a2+1)2(a3+1)3⋯(an+1)n>nn
3. El juego de la adivinanza del mentiroso es un juego para dos jugadores A,B. Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos k,n, los cuales son conocidos para ambos jugadores.