Noviembre 2012
XXVI OMM --los problemas del segundo día
Problema 4. A cada entero positivo se le aplica el siguiente proceso: al número se le resta la suma de sus dígitos, y el resultado se divide entre 9. Por ejemplo, el resultado del proceso aplicado al 938 es 102, ya que (938-(9+3+8))/9=102. Aplicando dos veces el proceso a 938 se llega a 11, aplicado 3 veces se llega al 1. Cuando a un entero positivo n se le aplica el proceso una o varias veces, se termina en 0. Al número al que se llega antes de llegar al 0, lo llamamos la casa de n. ¿Cuántos números menores que 26000 tienen la misma casa que 2012?
XXVI OMM --los problemas del primer día
Problema 1. Sean C1 una circunferencia con centro O, P un punto sobre ella y l la recta tangente a C1 en P. Considera un punto Q sobre l, distinto de P, y sea C2 la circunferencia que pasa por O,P y Q. El segmento OQ intersecta a C1 en S y la recta PS intersecta a C2 en un punto R distinto de P. Si r1 y r2 son las longitudes de los radios de C1 y C2, respectivamente. Muestra que PS/SR=r1/r2.