Máximo con restricciones

$a^2+b^2+c^2+d^2=z$, $a+b+c+d=x$

por la media cuadrática media aritmética

$z\geq\frac{x^2}{4}$

$z+e^2=16$

$x+e=8\rightarrow e^2+2ex+x^2=64\rightarrow$

$16-z+2ex+x^2=64\rightarrow$

$2ex=48+z-x^2\geq48-3z\rightarrow$

$2ex\geq3(16-z)=3e^2\rightarrow$

$2x\geq3e\rightarrow16\geq5e\rightarrow$

$\frac{16}{5}\geq e$ así que el máximo valor de $e$ es $\frac{16}{5}$ y la igualdad se alcanza si y sólo si $x>0$ y $ a=b=c=d$

Gracias por la colaboración Fernando. Y aprovecho la oportunidad para un "comercial" de mi desigualdad favorita. Ver uno de mis posts de Cauchy [4].

He aquí mi solución con Cauchy (un poco en al estilo matemático oscuro):

Consideremos las 4-sucesiones $2-a,2-b,2-c,2-d$ y $1,1,1,1$. Entonces su producto de Cauchy es $e=(2-a)\cdot1+(2-b)\cdot1+(2-c)\cdot1+(2-d)\cdot1$.

Por la desigualdad de Cauchy, $e^2\leq{4[(2-a)^2+(2-b)^2+(2-c)^2+(2-d)^2]$.
De aquí que $5e^2\leq{16e}$. Es decir, $e\leq{16/5}$.

Con igualdad si y sólo si las dos sucesiones son proporcionales. Es decir, si y sólo si $2-a=k\cdot1, 2-b=k\cdot1$, etc. Se sigue que el mayor valor que puede tomar $e$ es 16/5.

Los saluda