Primero observemos que 65=5∗13. Ahora recordemos que sip,q son primos entonces decir pq|m es equivalente a decir p|m y q|m. Tenemos entonces que f(n) divisible entre 65 equivale a decir f(n) divisible entre 5 y f(n) divisible entre 13. Este hecho hace posible descomponer el problema en dos subproblemas.
Así pues, f(n)≡0(mod 65) si y sólo si f(n)≡0(mod 5) y f(n)≡0(mod 13). Resolvamos cada uno de ellos:
De f(n)≡0(mod 5) se sigue, de acuerdo al pequeño teorema de Fermat, que 13n+9an≡0(mod 5). Es decir, n(13+9a)≡0(mod 5) y, de aquí, que 13+9a≡0(mod 5) –pues debe cumplirse la congruencia para todo entero n1). Finalmente, esta ecuación de congruencias se simplifica a a≡3(mod 5).
De f(n)≡0(mod 13) se sigue, de nuevo por el pequeño teorema de Fermat, que 5n+9an≡0(mod 13). Es decir, n(5+9a)≡0(mod 13) y, de aquí, que 5+9a≡0(mod 13). Finalmente, la ecuación se simplifica a a≡11(mod 13).
El resultado es que tenemos que resolver el sistema de congruencias
a≡3(mod 5)
a≡11(mod 13)
Para el primer número se encuentra de inmediato el 13=2(5)+3. Para el segundo, nos apoyamos en el hecho de que 40=39+1. Es decir, 40≡1(mod 13). Por lo tanto, 40(11)=440≡11(mod 13). Es decir, el segundo número es 440. Por tanto, una solución del sistema es a=440+13=453. Pero también es solución a=453+65k=63+6(65)+65k. Entonces, la solución mínima es a=63.
Vamos a resolver el sistema de congruencias
a≡3(mod 5)
a≡11(mod 13)
con el método diofantino, como una forma de compararlo con el método chino:
a=5r+3=13s+11
5r=13s+8
r=2s+1+(3s+3)/5
x=(3s+3)/5
5x=3s+3
3s=5x−3
s=x−1+2x/3
y=2x/3
3y=2x
x=3y/2=y+y/2
z=y/2
y=2z
x=3z
s=3z−1+2z=5z−1
a=13s+11=13(5z−1)+11=65z−13+11=65z−2
Solución mínima positiva: a=63
Aquí se puede ver que el método chino del resto puede llegar a ser más eficiente que el método diofantino. Éste, sin embargo, tiene la ventaja de olvidarse de las congruencias. Es por ello recomendado para los novicios que todavía no confían plenamente en el álgebra de congruencias.
Otro detalle importante a comentar es que el pequeño teorema de Fermat es obligatorio para poder resolver este problema. Sin esa herramienta, simplemente no se puede continuar hasta llegar al sistema de congruencias que lo resuelve. Por esa razón este problema tiene dos niveles de complejidad, lo cual lo convierte en un problema verdaderamente difícil.