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IX Olimpiada Norestense de Matemáticas (Problema 3)
El incírculo del triángulo $\triangle ABC$ es tangente al lado $AB$ en el punto $P$ y al lado $ BC $ en el punto $Q$. El círculo que pasa por los puntos $A,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $ BC $ en $ M $ y el círculo que pasa por los puntos $C,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $ AB $ en el punto $ N $.
Eliminación con dos operaciones
En cada cuadrado de un tablero rectangular hay un entero positivo. Se pueden modificar los números del tablero usando alguno de los siguientes movimientos.
--Multiplicar por 2 cada número de un renglón.
--Restar 1 a cada número de una columna.
Números en espiral
Considera la sucesión $\{1,3,13,31,\ldots\}$ que se obtiene al seguir en diagonal el siguiente arreglo de números en espiral.
Encuentra el número en la posición 100 de esa sucesión.
IX Olimpiada Norestense de Matemáticas
Cd Victoria, Tamaulipas
UAMCEH-UAT
a 29 de septiembre de 2009
La Delegación Tamaulipas de la XXIII Olimpiada Mexicana de Matemáticas, informa a las delegaciones de Coahuila, Nuevo León y Tamaulipas, sobre el programa de actividades de la IX Olimpiada Norestense de Matemáticas, con sede en la Unidad Académica Multidisciplinaria de Ciencias, Educación y Humanidades de la Universidad Autónoma de Tamaulipas (UAMCEH-UAT) en Ciudad Victoria.
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 6)
Alrededor de una circunferencia se marcan 6000 puntos y cada uno se colorea con uno de 10 colores dados, de manera tal que entre cualesquiera 100 puntos consecutivos siempre figuran los 10 colores. Hallar el menor valor k con la siguiente propiedad: Para toda coloración de este tipo existen $k $ puntos consecutivos entre los cuales figuran los 10 colores.
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 5)
La sucesión $a_n$ está definida por
$a_1=1, a_{2k}=1+a_k$ y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$, para todo entero $k\geq 1$.
Demostrar que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esa sucesión.
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 4)
Sea $ ABC $ un triángulo con $AB\neq AC$. Sean $ I $ el incentro de $ ABC $ y $ P $ el otro punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo $A $ con el circuncírculo de $ ABC $. La recta $PI$ intersecta por segunda vez al circuncírculo de $ ABC $ en el punto $J $. Demostrar que los circuncírculos de los triángulos $JIB$ y $JIC$ son tangentes a $IC$ y a $IB$, respectivamente.
Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas 2009
Hoy inició la XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas en la Ciudad de Querétaro, México. Es decir, hoy los adolescentes aspirantes a una medalla presentaron la primera parte del examen, consistente en tres problemas. Mañana presentan los siguientes tres, con lo cual la suerte estará echada...
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 3)
Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, con el mismo radio, que se cortan en $A $ y en $ B $. Sea $P $ un punto sobre el arco $AB$ de $C_2$ que está dentro de $C_1$. La recta $AP$ corta a $C_1$ en $C $, la recta $CB$ corta a $C_2$ en $D $ y la bisectriz del $\angle CAD$ intersecta a $C_1$ en $E $ y a $C_2$ en $L $. Sea $F $ el punto simétrico a $D $ con respecto al punto medio de $PE$. Demostrar que existe un punto $X $ que satisface $\angle XFL = \angle XDC = 30^\circ$ y $CX = O_1O_2$.
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 2)
Para cada entero positivo $ n $ se define $a_n = n+m$, donde $ m $ es el mayor entero tal que $2^{2^m}\leq n2^n$. Determinar qué enteros positivos no aparecen en la sucesión $a_n$.
