III OIM 1988

Considere los conjuntos de $n$ números naturales diferentes de cero en los cuales no hay tres elementos en progresión aritmética. Demuestre que, en uno de esos conjuntos, la suma de los inversos de sus elementos es máximo.

Considere las expresiones de la forma $x + yt + zt^2$, con $x, y, z$ números racionales, y $t^3=2$. Demuestre que si $x + yt +zt^2\neq 0$, entonces existen $u, v, w$ racionales tales que $(x + yt + z^2)(u + vt + wt^2)= 1$

Sea $ABC$ un triángulo cuyos lados son $a, b, c$. Se divide cada lado del triángulo en "n" segmentos iguales. Sea $S$ la suma de los cuadrados de las distancias de cada vértice a cada uno de los puntos de división del lado opuesto distintos de los vértices. Demuestre que $$\frac{S}{a^2+b^2+c^2}$$ es un número racional.

Demuestre que entre todos los triángulos cuyos vértices distan 3, 5 y 7, de un punto
dado P, el que tiene mayor perímetro admite a $P$ como su incentro.

Sean $a,b,c,d,p$ y $q$ números naturales no nulos que verifican $ad - bc = 1$, y $$\frac{a}{b}\gt \frac{p}{q}\gt \frac{c}{d}$$
Demostrar que

• $q\geq b+d$
• Si $q=b+d$ entonces $p=a+c$

Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de las alturas del mismo triángulo también están en progresión aritmética. Demuestre que el triángulo es equilátero.