La desigualdad más simple

Una preguntar muy común en matemáticas de concurso y escolares es la siguiente:

¿Cuál es el área rectangular más grande que se puede cubrir con un cerca de 500 metros de longitud?

Probablemente esté más comúnmente en cursos de precálculo o de de calculo diferencial I. Pero también puede aparecer en cursos de álgebra. La técnica que veremos aquí, es para aquellos que quieren resolverlo usando sólo álgebra (con muy poco conocimiento de desigualdades).

Las técnica podría presentarse a estudiantes de secundaria interesados en Matemáticas de Concurso. Pues es fácil de presentar si ya saben álgebra.

Algebrización del problema

Sean $a$ y $b$ las longitudes del rectángulo. Sabemos entonces que $2a+2b=500$, es decir, $a+b=250$

Ahora bien, queremos maximar el valor de $ab$, que es el área del rectángulo.

En resumen, el problema se transforma en:

Encuentra el valor máximo de $ab$ con $a$ y $b$ reales positivos tales que $a+b=250$

Máximo sin cálculo

Ahora, para encontrar el máximo nos sacaremos de la manga la siguiente identidad:

$$ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 -\left(\frac{a-b}{2}\right)^2$$

La demostración la dejamos al lector pues sólo requiere un manejo de álgebra elemental para verificarlo; que es mucho menos que cálculo.

De esta igualdad se sigue inmediatamente que:

$$ab = (125)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$$

Es entonces evidente que $ab$ se maximiza cuando el valor de $(a-b)$ se minimice. Este último claramente se alcanza cuando $a-b=0$, es decir, $a=b$.

Pero como tenemos que $a+b=250$, entonces el máximo se logrará cuando $a=b=250/2=125$. Entonces la repuesta a nuestro problema es que el máximo es $ab = (125)^2$

Máximos discretos

Ahora, en ocasiones la búsqueda del máximo es en valores discretos, es decir, estamos restringidos a posibilidades que son finitas, enteras o que en general no varían de manera continua. Para no ser tan técnico, explicaré esto con el siguiente ejemplo:

Si $p$ y $q$ son dos primos cuya suma es 90, ¿cuál es valor más grande que puede tener el producto pq?

Este caso es discreto, pues los posibles valores de $p$ y $q$ que satisfacen $p+q=90$ son un número finito. No como en el problema del inicio, que hay una infinidad de posibles valores que realizan la suma $a+b=250$ (no enteras como 125.4 +124.6= 250

Una posible estrategia válida para atacar este problema es buscar todas la parejas de primos que suma 90 y multiplicarlas, y ver cuál es el más grande. Sin embargo, hay una manera más directa de encontrar dicha pareja.

Para ello, recordemos nuestra fórmula:

$$pq = \left(\frac{p+q}{2}\right)^2-\left(\frac{p-q}{2}\right)^2$$

Queremos entonces como $p+q=90$ queremos maximar:

$$\left(\frac{90}{2}\right)^2-\left(\frac{p-q}{2}\right)^2$$

Que es equivalente a minimizar $p-q$ (suponiendo $p \geq q$). En consecuencia se trata de encontrar dos primos que sumen 90 pero que sean lo más cercanos posibles.

Vamos analizando los posibles valores para $p$ y $q$ cuando variamos la diferncia $p-q$ desde cero para arriba. Vamos haciendo una tabla, y la primera pareja que econtremos de primos, esa será la respuesta:

p-q	p	q	¿Primos?
0	45	45	No
2	44	46	No
4	43	47	Sí

Entonces, el máximo se logra cuando $p=43$ y $q=47$

Más usos

Ahora, para practicar, aquí van algunos ejemplos donde puedes usar esta identidad para resolver más problemas.

Problemas continuos

1. Demuestra que si $a \cdot b = M$ con $a, b>0$ entonces $a+b \geq 2\sqrt{M}$
2. Demuestra que si $a + b = M$ con $a, b>0$ entonces $a\cdot b \leq M^2/4$
3. Demuestra que para $a, b>0$ se tiene que $$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$$
4. Demuestra que para todo $x>0$, $$x + \frac{1}{x} \geq 2$$

Problemas discretos

1. Sean $x$ e $y$ dos impares positivos tales que $x+y=100$ Encuentra el valor máximo y mínimo que puede obtener el producto $x \cdot y$.
2. Sabemos que el producto de dos enteros es $3000$, ¿cuáles son los valores máximo y mínimo que puede tomar su suma?
3. Se eligen a $a$ , $b$, $c$, $d$, $e$ y $f$ son las tres caras de un dado en algún orden. Encuentra el valor mínimo de $a\cdot b \cdot c +d \cdot e \cdot f$