El viernes 17 de octubre se realizará la II Olimpiada de Matemáticas de la Secundaria 4 en Cd. Victoria. A ese evento va dedicado este post.
Vamos a ilustrar con un ejemplo los extremos concreto-abstracto con que se suelen plantear y resolver problemas de matemáticas. Se trata de un problema razonado elemental de quinto o sexto de primaria. Lo vamos a discutir con cierta profundidad, modelando, resolviendo, representando, generalizando, etc.
La pequeña Kika está en cuarto año de primaria, y su abuelo es un profesor retirado aficionado a las matemáticas. Un día, Kika llega de la escuela y le dice angustiada: abuelo, abuelo, se me perdieron dos lápices de los que me regalaste. Y el abuelo le dice: piensa en que si hubieras encontrado dos, ahora tendrías cinco veces los que ahora tienes. ¿Cuántos lápices tenía Kika?
Solución aritmética elemental (por adivinación informada)
En primer lugar hay que ver (inferir del enunciado) que Kika tenía más de 2 lápices. Supongamos 5. Entonces, le quedan 3, y 5*3=15, diferente de los 7 si hubiese encontrado 2. Por tanto no eran 5. Tienen que ser menos de 5. (Lo importante de la adivinación es que estos cálculos aportan información sobre cómo adivinar enseguida. Suponemos que la comprensión del enunciado no presenta ningún problema para el lector.)
De nuevo; si fuesen 4, entonces le quedaron 2 y cinco veces 2 es 10, lo cual es también diferente de los 6 que tendría si hubiese encontrado 2. Entonces la respuesta tiene que ser 3: 3-2=1; y cinco veces 1 es 5, que también es el número de lápices que tendría Kika si hubiese encontrado 2.
Los calculos de verificación, que validan o invalidan la adivinación pueden organizarse en una tabla:
| tenía | tiene | tendría | cinco veces... |
| 5 | 3 | 7 | 15 |
| 4 | 2 | 6 | 10 |
| 3 | 1 | 5 | 5 |
El método de adivinación para resolver este tipo de problemas es valioso en la medida en que enseña también al aprendiz a considerar las condiciones del problema para verificar su adivinación. En otras palabras, si puede verificar es porque ya entendió el enunciado. (Su uso como método de mejorar la comprensión lectora de los alumnos no ha sido explorado en la literatura.) Y si el aprendiz usa la organización tabular de los cálculos entonces está aprendiendo también una disciplina de trabajo matemático --y no matemático.
Ejercicio: Resolver el problema si Kika perdió 9 y el abuelo le dice: si hubieses encontrado 9, tendrías 7 veces lo que ahora tienes.
Solución diagramática
Para esta solución se tiene que saber que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura: A=bh. También debería saber que una multiplicación de dos números se puede representar con un rectángulo: un número como base, el otro como altura y el área como el producto. Es, sin embargo, más difícil pues se tiene que representar:
n = los lápices que tenía Kika;
n-2 = los que ahora tiene;
n+2 = los que tendría;
$5(n-2)=n+2$ es la representación simbólica de las condiciones del problema.
De esta manera, el problema se puede modelar con un rectángulo de base 5, altura n-2 y área n+2. Esto es ya casi álgebra. La única ventaja sobre el algebra es su visualidad.
Vamos a resolver para n usando solamente rectángulos. Veamos primero que si agregamos un rectángulo de 2*5=10, se logra un rectángulo de base 5 y altura n, con área n+12.
Pero $n+12=n-3+15$. Es decir, el rectángulo de 5*n lo podemos seccionar en dos rectángulos: los dos de base 5 pero uno de ellos de altura 3 y el otro de altura n-3.
Y si tomamos solamente el de altura n-3, tenemos un rectángulo de base 5 y altura n-3, de área n-3. Es decir, tenemos un número --n-3-- que multiplicado por 5 no cambia. Entonces, n-3 tiene que ser cero --¿quién no se sabe la tabla del cero?
La respuesta entonces es n=3. Es decir, Kika tenía 3 lápices.
Ejercicio: resolver con rectángulos pero en el primer paso usar el hecho de que n+2=n-3+5 y seccionar de acuerdo a esta observación.
Solución algebraica
Ya vimos que el modelo algebraico es 5(n-2)=n+2. De aquí que 5n-10=n+2. Es decir, 4n=12. Y se ve que n=3.
Otra solución (por múltiplos)
Del enunciado debería ser claro que n+2 es múltiplo de 5: n+2= 5, 10, 15,... Y, de aquí, n tendría que ser, respectivamente, 3, 8, 13,... y, finalmente, n-2=1, 6, 11,... En resumen:
n+2 = 5, 10, 15,...
n = 3, 8, 13,...
n-2 = 1, 6, 11,...
5(n-2)=5, 30, 55,...
Y se ve que n=3 es la respuesta, pues sólo con n=3 se logra 5(n-2)=n+2 (primeros elementos del primero y cuarto renglón).
Reto olímpico (el problema del abuelo y la niña generalizado):
Kika tiene $ n $ objetos que le regaló su abuelo. Un día...: Abuelo, abuelo, perdí $x$. Y dice el abuelo: si hubieses encontrado $ x $, tendrías $ y $ veces los que ahora tienes. Encontrar todas las parejas $(x, n)$ en términos de $y$ ($x, y, n$ enteros positivos).
Los saluda
jmd
PD: en la dokuwiki está la solución del reto