A continuación se presentan las soluciones del concurso ciudades con que inició el proceso de selección de la OMM en Tamaulipas 2012 el viernes 21 de septiembre.
Los problemas
1G. En el segmento AB se elige un punto E. En los extremos de AB se levantan dos segmentos AD y BC, perpendiculares a AB, de tal manera que AD=AE y BC=BE. Demostrar que el triángulo CDE es rectángulo en E.
2A. Encuentra la suma de todos los números impares menores que 2012.
3A. Si se sabe que la suma de dos números es 1 y que la suma de sus cuadrados es 2 ¿cuál es la suma de sus cubos?
4N. Un número de tres dígitos deja residuo 1 cuando se divide entre 2, 3, 4, 5 y 7. Encontrar todos los números posibles con esa propiedad.
5A. Al cuadrado de un entero se le llama cuadrado perfecto. Si $x$ es un cuadrado perfecto ¿cuál es el siguiente cuadrado perfecto expresado en términos de $x$?
6C. Sean $a_1,a_2\ldots,a_n$ enteros positivos y considere los números $b_1=a_1,b_2=a_1+a_2,\ldots,b_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$. Demostrar que si ninguno de los $b_i$ es múltiplo de $n$ entonces hay dos de ellos cuya diferencia es múltiplo de $n$.
7G. Dado que el perímetro de un triángulo rectángulo es $2+\sqrt{6}$, y que la mediana a la hipotenusa es 1, encontrar su área.
Soluciones
1. Según los datos, los triángulos ADE y BCE son isósceles rectángulos. En consecuencia, los ángulos en sus respectivas bases miden 45. De donde se sigue que DEC es de 90 por formar un llano con 2 ángulos adyacentes de 45.
2. Sumando a la Gauss se tiene:
S= 1 + 3 + 5 +…+2009+2011
S=2011+2009+2008+ … + 3 + 1
Es decir, 2S=2012 (1006). Por tanto, la respuesta es 1006(1006).
3. Sean $a,b$ los números. Entonces $a+b=1$ y $a^2+ b^2=2$. Por tanto, $1=(a+b)^2=2+2ab$. Es decir, $ab=-1/2$. De aquí que $$1=(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = a3+b3+3ab(a+b)= a3+b3+3(-1/2)(1)$$ Es decir, $a^3+b^3=1+3/2=5/2$.
4. Sea n el número. Entonces n-1 es múltiplo de 420. Pero n es de tres dígitos. Luego, los números son 421 y 841.
5. Sea $x=y^2$. Entonces, el siguiente cuadrado perfecto es $(y+1)^2= y^2+2y+1=x+2\sqrt{x}+1$ o bien $(\sqrt{x}+1)^2$.
6. Si ninguno de los $b_i$ es múltiplo de n entonces, al dividir entre n, todos los $b_i$ dejan un residuo diferente de cero. Pero los posibles residuos no nulos son 1,2,…,n-1. Por tanto, al ser n números $b_i$, uno de los residuos se repite. De ahí el resultado.
7. Sean $a$ y $b$ los catetos y $c$ la hipotenusa. Entonces el área es ab/2. Pero, por teorema conocido, la mediana a la hipotenusa mide lo mismo que la mitad de ella. Por tanto, $c=2$. De ahí que $a+b=\sqrt{6}$. Pero entonces $6=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=c^2+2ab=4+2ab$. En consecuencia, ab=1 y el área buscada es 1/2.
Los saluda
jmd
PD: Las soluciones están algo condensadas, cualquier pregunta será bien recibida... y respondida... (eso esperamos)
