Hoy 4 de abril de 2014 se aplicó el examen del concurso municipal, primera etapa del proceso de selección de la Olimpíada Mexicana de Matemáticas en Tamaulipas. Pongo en este post los problemas con sus soluciones (algo condensadas) como una retroalimentación para los participantes.
1. En un examen de 10 preguntas, Juan las respondió todas y obtuvo 29 puntos. Si le dieron 5 puntos por cada respuesta correcta y -2 por cada incorrecta ¿cuántas preguntas respondió Juan correctamente?
Solución
El modelo algebraico es: x+y=10, 5x-2y=29. La respuesta es x=7.
Comentario: Claramente se puede resolver por fuerza bruta (tanteos)... si se comprende el enunciado...
2. Los números del 1 al 16 se colocan en una cuadrícula de 4 por 4 de manera que la suma por columnas, por filas y por diagonal es la misma. En la siguiente cuadrícula solamente algunas casillas se han llenado. Termina de llenarla.
__ __ 3 16
__ 15 __ 5
14 __ 8 11
7 12 13 __
Solución
Puesto que la suma del 1 al 16 es 136, entonces la suma por columna, fila y diagonal es 136/4=34. La cuadrícula queda llena así:
9 6 3 16
4 15 10 5
14 1 8 11
7 12 13 2
Comentario: de nuevo, el problema es elemental y su resolución está al alcance de un niño de primaria.
3. En un rectángulo ABCD, M es el punto medio de BC. Si T es el pie de la perpendicular a AM bajada desde D demostrar que CT=CD.
Solución
Sea N el punto medio de DA. Entonces CN es paralela a AM. Por tanto, DT es perpendicular a CN. Pero TN es mediana a la hipotenusa en el triángulo rectángulo DTA. De aquí que TN=ND. Se sigue que CN no solamente es perpendicular a TD sino que es su mediatriz. De ahí el resultado.
4. Calcular el valor de
$$\frac{2x+8}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}}$$si se sabe que $\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-3}=2$.
Solución
Para eliminar el denominador multiplicamos por su conjugado. Después de algunas manipulaciones se llega a que la expresión es equivalente a 2(2x+8))/(x+4). Simplificando se llega a la respuesta 4.
5. Calcular el valor de $x^3+1/x^3$ si se sabe que $x+1/x=9$.
Solución
Desarrollando el binomio $(x+1/x)^3$ se llega a que éste es igual a $x^3+1/x^3+3(9)$. Por tanto la respuesta es 9(78).
6. Sea m un entero. ¿Puede ser cuadrado perfecto un número de la forma 3m+2?
Solución
La respuesta es no. Porque cualquier número entero n o es múltiplo de 3 o no lo es. Si no lo es entonces debe ser de la forma n=3k+1 o n=3k+2. De aquí que $n^2$ o es múltiplo de 3 o bien deja 1 de residuo al dividirlo entre 3. Pero 3m+2 deja 2 de residuo. Por tanto no puede ser cuadrado perfecto.
7. Un número se dice que es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras y repetir esta operación suficientes veces se obtiene el número 1. Por ejemplo el número 1900 es suertudo, pues en la primera operación se obtiene 82, en la segunda 64+4=68, en la tercera se obtiene 100 y en la cuarta se obtiene el 1. Encontrar dos números consecutivos que sean suertudos.
Solución
Como 10=1+9, entonces 13 y 31 son suertudos. Se comprueba fácilmente que el 32 es suertudo. Por tanto una posibilidad de respuesta son los números 31 y 32.
8. Encontrar los enteros positivos mínimo (m) y máximo (M) que se pueden expresar en la forma $1/a_1+2/a_2+3/a_3+...+9/a_9$. Donde $a_1,...,a_9$ son dígitos, no necesariamente distintos.
Solución
El mínimo se logra cuando todos los denominadores son 9. Es ese caso se puede factorizar la expresión como 1/9(1+2+...+9)=1/9(45)=5. Así que el mínimo es 5. Por otro lado el máximo se logra cuando todos los denominadores son 1. Por tanto el máximo es 45.
9. La diferencia de dos números es 2 y la diferencia de sus cuadrados es 8. ¿Cuánto vale su suma?
Solución
$8=a^2-b^2=(a-b)(a+b)=2(a+b)$. Por tanto, a+b=4.
Comentario: Éste se puede resolver también por fuerza bruta y así le hizo la mayoría de quienes lo resolvieron en Cd Victoria. Y con éste son tres los problemas al alcance de un nilo de primaria. ¿Cómo explicar entonces que 70 (de 166) obtuvieron menos de 14 puntos? (19 obtuvieron cero puntos)
10. Los números del 1 al 1000 se colocan en orden alrededor de una circunferencia. Empezando con el 1 se marca cada quinceavo número (el 16, el 31, etc.). Este proceso se continúa sobre los números en la circunferencia hasta llegar a un número ya marcado. ¿Cuántos números quedan no marcados?
Solución
En la primera vuelta se marcan todos los números menores que 1000 que dejan 1 de residuo en la división entre 15. El último de esos es 991. La segunda vuelta empieza marcando el 6 y continua marcando los números menores que 1000 que dejan 6 de residuo en la división entre 15 --hasta llegar al 996. La tercera vuelta empieza marcando el 11 y todos los que dejan 11 en la división entre 15 hasta llegar al 986. Y ahí se detiene el proceso pues la cuarta vuelta iniciaría marcando el 1 que ya está marcado.
En resumen, quedan marcados los números que dejan residuos 1, 6 y 11 en la división entre 15. Pero esos son precisamente los números que dejan 1 de residuo en la división entre 5. Y son 1000/5=200. Por tanto, quedaron sin marcar 800 números.
Los saluda
jmd
PD: se atacha el listado de la selección Victoria (el lunes será depurada, pues algunos están ya en sexto semestre y quedarán fuera de la competencia).
| Adjunto | Descripción | Tamaño | |
|---|---|---|---|
 | seleccion_2014_sede_victoria_de_la_xxviii_omm.pdf | Selección Victoria de la XVIII OMM Tamaulipas 2014 | 226.39 KB |