Quizá una de las razones por las que no se enseña la notación sumatoria en la escuela, y se espera hasta el cálculo o hasta la estadística descriptiva en el bachillerato o la universidad, es porque antes no se necesita. Es muy útil cuando se necesita saber si una serie infinita converge --y el tema de las series infinitas es del cálculo. Pero se puede abordar antes del cálculo, en el tema de sucesiones aritmética y geométrica y sucesiones recursivas, a lo cual puede seguir el de ciertos trucos para resolver ecuaciones de recurrencia elementales como la transformada Z.
Algunas propiedades de la notación sumatoria
1. Sumar n veces el 1: $$\sum_{i=1}^{n} {1} = 1 + 1 + 1 + ... + 1 =n$$
(Es obvio.. pero una vez que ya está uno familiarizado con la notación sumatoria.) Debe interpretarse así: la sucesión que se está sumando es $a_i=1$, es decir, todos sus términos son iguales a la unidad; así que cada vez que sumo un término, sumo el 1.
2. Sumar n veces una constante c: $$ \sum_{i=1}^{n} c = c + c + c + ... + c =nc$$
De aquí se deriva la propiedad $\sum_{i=1}^{n} ca_i = c\times \sum_{i=1}^{n} a_i$
Y esta otra: $$ \sum_{i=1}^{n} {c+ba_i} = nc + b\times\sum_{i=1}^{n} a_i$$
Instancia de uso:
Otra instancia de uso:
Algunas fórmulas conocidas en notación sumatoria:
- Suma de los primeros naturales: $$\sum_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + ... + n= \frac{ n(n+1)}{2} $$
- Suma de los primeros cuadrados perfectos: $$\sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2= \frac{ n(n+1)(2n+1)}{6}$$
- Suma de los primeros cubos perfectos: $$\sum_{i=1}^{n} i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3=\frac { n^2(n+1)^2}{4}$$
Instancia de uso