En un problema razonado el primer paso es modelar el problema simbólicamente. Después viene la resolución de las ecuaciones y la interpretación de los resultados en términos del contexto dado en el enunciado. Pongamos un ejemplo elemental:
Problema 1
En un estacionamiento hay 200 automóviles, 50 son rojos ¿cuántos son no rojos?
La respuesta a esta pregunta necesita algo más que saber restar dos números. El niño de 8 años ya sabe restar y puede restar 50 de 200. Pero ese conocimiento no es suficiente para resolver el problema. Lo que es necesario es que el niño pueda "ver" (a partir del enunciado) que la resta es la operación adecuada, la operación que resuelve el problema.
Un problema parecido pero verbalizado de otra manera es:
Problema 2
En el grupo hay 15 niñas y 21 niños ¿cuántos niños más que niñas hay en el grupo?
Este problema también se resuelve con una resta pero requiere una representación mental diferente que el de los automóviles.
Ambos problemas pueden ser verbalizados de tal manera que la representación mental se haga obvia.
Problema 1 (reformulado)
En una bolsa hay 200 dulces. Si saco 50 ¿cuántos quedan dentro de la bolsa?
Problema 2 (reformulado)
Al baile de fin de cursos asistieron 15 niñas y 21 niños. Si cada niña invita a bailar a un niño ¿cuántos niños se quedan sin pareja para bailar?
En estas verbalizaciones alternativas los enunciados mismos sugieren la estrategia de representación. En el primer problema la representación es la del conjunto complementario (contar los que no fueron elegidos), mientras que en el segundo se deja representar más fácilmente mediante apareo de los elementos de dos conjuntos (contar los que no fueron apareados).
Pero en sus verbalizaciones originales, la estrategia de representación queda oculta, y el niño puede tener dificultades para representar y elegir la operación adecuada para resolver el problema.
Los dos problema en su forma más general son:
Problema 1 (generalizado)
Un conjunto S tiene n elementos. Si k de esos elementos son del tipo 1 ¿cuántos elementos no son del tipo 1?
Problema 2 (generalizado)
Dos conjuntos M y N tienen, respectivamente, m y n elementos. Si m es menor que n ¿cuántos elementos más tiene el conjunto N que el M?
La habilidad o competencia que se desearía que el niño llegara a obtener (desde un punto de vista didáctico) es precisamente que a la larga pudiera ver el problema razonado en su nivel más abstracto, como lo es este modelo conjuntista. Pero ello no es posible a sus 8 años. Y lo que se tiene que hacer es enseñarle a traducir el enunciado a un modelo básico para que pueda usar las operaciones adecuadas para resolverlo. (Esto quizá se podría lograr poniendo primero el enunciado que sugiere la estrategia de representación y después el que la oculta.)
Y ese objetivo de enseñanza de razonar de manera abstracta solamente se puede lograr convenciéndolo de un modo legítimo (y quizá sea mejor decir, de un modo didáctico). Y esto quiere decir: “convencerle usando sus propios criterios y conocimientos”. (Esta es la fórmula socrática, pero el lector podría preferir leer a un autor contemporáneo: para ello recomiendo leer a Guy Brousseau http://www.lettredelapreuve.it/OldPreuve/Newsletter/04Ete/04EteThemeES.html)
Y este problema de convencer al niño de manera legítima es un problema de diseño didáctico. El cual es un problema muy difícil. Sobre todo cuando el niño nada quiere saber de matemáticas y se niega a pensar por su cuenta. Pongamos para ejemplificar el Caso de Gael. (http://www.math.washington.edu/~warfield/articles/gael/Gael20.html)
Gael es un niño de 8 años (lo era cuando Brousseau lo atendió) con fracaso escolar selectivo: fallaba sólo en matemáticas. El diagnóstico de Brousseau fue que había encontrado su zona de confort siguiéndole la corriente a su maestra. Eso le evitaba tensiones. Después de plantearle un problema que podríamos llamar de "la cardinalidad del conjunto complementario", el niño fracasa una y otra vez ante las variantes del problema. Inicialmente fueron coches en un estacionamiento. (Si son 200 y 50 son rojos ¿cuántos son no rojos?) Después fueron objetos en una bolsa. Pero Gael no atinaba a dar la respuesta correcta.
La sesión final la estructuró Brousseau según "el juego del mentiroso": el maestro saca objetos de la bolsa y los cuenta; después dice cuántos objetos quedaron en la bolsa; Gael tenía que aceptar la afirmación o bien decir ¡mentiroso! (Gael sabía que en la bolsa había 200 antes de la extracción; el profesor sacaba un montón y los contaba frente a Gael y entonces gritaba un número –-el de los objetos que habían quedado dentro de la bolsa.)
Según la idea de Brousseau, esta situación devolvió a Gael la responsabilidad de hacer los cálculos necesarios para decidir si la afirmación del instructor-terapeuta era verdad o mentira. Y así Gael pudo recobrar, a través de un juego, la actitud de hacerse responsable de su propio aprendizaje.
Una interpretación del que esto escribe es que los mensajes dirigidos a la cognición humana pueden resultar totalmente ineficaces. Todos sabemos el efecto de dar consejos --solicitados o no. Los modos de recepción dependen de un marco de significación, de un frame muy particular, y todo lo que queda fuera de él, ya sea se "jala" hacia ese frame y se le da un sentido, o bien se rechaza totalmente.
Los saluda
jmd