En este post final del curso de resolución de problemas voy a presentar 23 problemas. La solución o sugerencia se pondrá en otro post adicionada con comentarios.
Los problemas se etiquetan con A si de álgebra, con C si de combinatoria, con G si de geometría y con N si son de números. La mayoría de los problemas son elementales pero se buscó que fueran interesantes.
1N. El abuelo reparte 500 pesos entre sus 18 nietos de manera que cada nieta reciba 2 pesos menos que cada nieto. ¿Cuántas nietas tiene y cuánto les tocó en el reparto?
2G. Sea $AB$ un diámetro de un círculo de centro $O$. $D,E$ son puntos sobre la circunferencia de tal manera que $OD//BE$. Si $C$ es la intersección de $AD$ y $BE$ demostrar que $BC$ mide lo mismo que un diámetro.
3N. Un número capicúa es aquel que no cambia si se lee al revés (por ejemplo, 515).
a) Encontrar el menor capicúa par de 7 cifras.
b) Encontrar todos los capicúas de 4 dígitos, sin ceros y múltiplos de 15.
4G. Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ del triángulo $ABC$. Demostrar que si $AM=BM$ entonces el triángulo es rectángulo en $A$.
5N. Juan, Kenia y Lorenzo viven en la misma cuadra y los números de sus casas son primos consecutivos. Se sabe que su producto es de 5 cifras y empieza con 6. Encontrarlos.
6N. Formar un cuadrado perfecto de 4 cifras usando todos los dígitos 0,2,4,7.
7N. El menor divisor positivo de y mayor que 1 de un número natural $k$ pertenece al conjunto $\{0,6,7\}$. ¿Cuál es ese divisor?
8A. Determinar $f(11)$ si se sabe que $f(2)=3$ y $f(a+b)=f(a)+f(b)+ab$.
9A. Encontrar todas la prejas $(m,n)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $6m^n-8n+1=2003$.
10A. Un número se puede expresar como suma de 3 enteros positivos consecutivos y también como suma de 4 y de 5 (enteros positivos consecutivos). Encontrarlo.
11G. Dos rectas perpendiculares pasan por el centro de un cuadrado. Demostrar que los cuadriláteros en que se divide el cuadrado son congruentes.
12N. Un entero positivo deja, respectivamente, residuos 2,6,2 al dividirlo entre 5,7,13. Encontrarlo.
13G. Dos segmentos paralelos a los lados de un rectángulo dividen a éste en 4 rectángulos más pequeños. Si se sabe que las áreas de 3 de elos son $2t,7t,t^2$, encontrar el área del cuarto.
14N. Tres múltiplos consecutivos de 11 suman 2013. Encontrarlos.
15N. Sea $p$ un primo y $r$ un entero positivo. ¿Cuántos números menores que $p^r$ son coprimos con $p$?
16N. Resolver en enteros:
a) $19x+140y=1$
b) $19x+4y=1$
c)19x+5y=1$
17G. Un punto $P$ en el interior del triángulo $ABC$ es tal que los ángulos $PAC$ y $PBC$ son iguales. Desde $P$ se bajan perpendiculares a los lados $BC$ y $CA$ con pies $L$ y $M$, respectivamente. Demostrar que el punto medio $D$ de $AB$ es equidistante de $L$ y $M$.
18G. $AB$ es diámetro de un círculo de centro $O$ y $D$ y $E$ son puntos sobre la circunferencia de tal manera que $OD//AE$. Si $C$ es la intersección de $BD$ y $AE$ demostrar $CA=AB$.
19C. Cuántas diagonales tiene un octágono?
20C. Tres mujeres y dos hombres van al cine y encuentran 5 asientos juntos en la misma fila y deciden acomodarse en ellos. ¿De cuántas formas pueden sentarse si las mujeres no quieren estar juntas?
21C. ¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos son impares y no contienen el 5?
22C. ¿De cuántas formas puedo repartir 7 dulces entre 4 niños a condición de que cada niño obtenga al menos uno?
23C. Veintisiete cubos blancos idénticos se ensamblan para formar un solo cubo y el exteriro de éste se pinta de negro. El cubo se desensambla y los pequeños cubos se ponen en una bolsa. Una persona invidente reensambla los cubos para formar el grande. ¿De cuántas formas se puede formar el cubo con su exterior totalmente negro?
Los saluda
jmd
PD: El 23 parece extremadamente difícil para principiantes y quizá también sea muy difícil el 17, Pero bueno, nunca se sabe...
PD: Y bueno, una vez que la posición está asegurada, se tiene que tejer la red de mate (en la partida del siglo 20, las blancas juegan pero ya sin ninguna oportunidad...)
