Ahora que el 2014 se ha quedado atrás y el puente Guadalupe Reyes se terminó es buen momento para mirar hacia el futuro. Y desearle a toda la comunidad de usuarios de MaTeTaM un 2015 de eficaces aprendizajes en el problem solving de matemáticas.
Y, bueno, de paso voy a plantear la tesis de que, en el aprendizaje de las matemáticas, primero se aprende el procedimiento y sólo después de ello se aprende el concepto. Ilustro con un ejemplo de desigualdades.
Introducción
Como quizá ya he comentado en otros posts, en el aprendizaje de las matemáticas la técnica tiene primacía. Es decir, la técnica se aprende primero y después --si hay tiempo o se ve su necesidad o como un lujo de la mente-- se aprende a fundamentarla, a demostrarla.
La tesis es del Segundo Wittgenstein, y la plantea en su obra denominada Investigaciones Filosóficas, un texto dedicado a la importante cuestión del uso del lenguaje natural. (Ver artículo de la Wikipedia para mayores detalles.)
La función del concepto de regla en las Investigaciones Filosóficas y escritos
posteriores es la de fiador de las acciones. (¿Cómo se juega en esta posición? dice el jugador de ajedrez. Y con ello está buscando en su mente una regla o un principio que le ayude a tomar la decisión.)
Pero más fundamental que la regla es el modo en que la regla se liga con la acción, con su aplicación. Porque en el momento de aplicarla tomamos una decisión sobre su corrección. (Si la aplicamos es porque la creemos correcta.)
Aprender una regla es aprender una capacidad generativa, es el dominio de
una técnica. Y no es aprender cómo describir o formalizar la regla –lo cual
debe considerarse como una habilidad o técnica aparte. Primero se aprende la
regla, después se aprende a describirla y a formalizarla. En el primer caso se
trata de un aprendizaje algorítmico y mecánico y, sin embargo, eficaz (pues
permite la acción eficaz).
Así que para que las interpretaciones puedan evolucionar hacia una creencia
verdadera (la frase es de Peirce), aquéllas deben tener implicaciones prácticas
para la acción eficaz. Porque de otra manera cualquier interpretación es
igualmente buena y el razonamiento se convierte en una competencia humana
innecesaria –su atrofia es una consecuencia predecible.
Con esta introducción he querido ofrecer un contexto filosófico y una justificación sobre la validez y utilidad de aprender las reglas del álgebra --independientemente de su validez formal, de su demostración formal.
Una identidad notable
Para ilustrar la tesis de que "la regla es primero" voy a proponer el tema de las identidades básicas --y no tan básicas-- del álgebra escolar.
¿Cómo aprende uno a usar la identidad de
la suma de cubos $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$?
Posiblemente la encontró uno en alguna manipulación algebraica que el profesor realizó en el pizarrón y ante la pregunta ("¿cómo le hizo allí profe?"), el profesor --fingiendo sorpresa ("¿no se la saben?")-- aplica la regla distributiva del lado derecho y comprueba que los términos intermedios se cancelan dejando solamente la suma de cubos.
Y, bueno, uno posiblemente quedó maravillado y, de ahí en adelante, la identidad de la suma de cubos pasó a formar parte de nuestra caja de herramientas para el problem solving en matemáticas. (Y posiblemente de la misma manera hemos aprendido los demás productos notables y otras identidades algebraicas que pueden ser establecidas mediante la regla distributiva.)
Un ejemplo (de acción eficaz y el uso de reglas)
Demostrar que $a^3+b^3\geq(a+b)ab$ donde $a,b>0$
Solución
A la manera del jugador de ajedrez ("¿cómo se juega en esta posición?") uno trae a presencia la identidad de
la suma de cubos $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
para iluminar la situación.
Y uno se dice: claramente bastará demostrar que $(a^2-ab+b^2)\geq ab$. Y, con un poco de suerte, uno descubrirá que si se pasa el lado derecho al izquierdo se tiene un trinomio cuadrado perfecto ($a-b)^2$).
Y llega la agradable sorpresa (de la solución que se aparece por sí misma). Pues cualquier número al cuadrado es siempre no negativo. ¿No es maravilloso amigos?
Comentarios
1. Notemos que en nuestra caja de herramientas debemos tener la identidad del binomio al cuadrado y el hecho de que todo cuadrado es siempre no negativo.
2. La parte en que uno se pregunta ¿cómo se juega esto? pertenece a las competencias actitudinales en el problem solving. (Actitudinal, es decir, referente a las formas aprendidas de responder ante las cosas del mundo.)
3. Pero también pertenece a una especie de estética algebraica: la forma de la expresión algebraica nos hace evocar otros significados. (Y ese sentido estético solamente se adquiere con la práctica.)
4. Notemos también que en la demostración comentada se aplican otras reglas. Una de ellas es de desigualdades: si $a=bc$ y $d \geq c$ entonces $bd \geq a$. ("Si multiplicas por un número mayor, el producto en mayor".)
5. Finalmente digamos que el kit de herramientas (reglas) aplicado a un problema específico es el resultado de una lenta acumulación y de un uso continuado de ellas. Es decir, es el resultado de una práctica dentro de una comunidad (en este caso la de los aficionados al problem solving de concurso).
Los saluda
jmd