Los problemas y ejercicios que a continuación presento son de ecuaciones cuadráticas, quizá uno de los temas más avanzados de las matemáticas escolares. Ello supone que el alumno ya domina los temas más básicos asociados con la suma, resta y multiplicación de expresiones algebraicas --y las instancias de uso de la regla distributiva.
Problemas cuadráticos: completar el trinomio
El método de completar el trinomio cuadrado perfecto se puede usar para resolver ecuaciones cuadráticas. Presento enseguida un ejemplo y varios ejercicios.
Consideremos la siguiente ecuación cuadrática: $x^2+10x=39$.
El primer paso es reconocer que $x^2+10x$ es una parte de un trinomio cuadrado perfecto. De aquí que se debe plantear así:
$$(x+5)^2=x^2+10x+25=39+25=64$$
Por tanto, $(x+5)^2=64$. Es decir, $x+5=8$ o $x+5=-8$. Y ahora es claro que la soluciones son $x=3,x=-13$.
Ejercicios
1. $x^2+8x=65$ (R: -5,-13)
2. $x^2+12x=64$ (R: 4, -16)
3. $x^2-14x+40=0$ (R: 4,-10)
4. $x^2-14x-32=0$ (R: -2,16)
Razonados cuadráticos
1. El producto de dos impares consecutivos es 30 unidades mayor que el menor de ellos. Encontrarlos. R: 5,7.
2. El producto de dos pares consecutivos es 14 unidades mayor que su suma. Encontrar los enteros. R: -4,-2 y 4,6.
3. Un entero es el cuadrado de otro. Su suma es 132. Encontrarlos. R: -12, 144 y 11, 121.
4. La diferencia de dos enteros es 2 y su producto es 224. R: -14, -16 y 16, 14.
5. Encontrar la ecuación cuadrática cuyas soluciones son 3 y -2.
6. Factorizar la ecuación $x^2-5x+6=0$
7. La suma de dos números es 5 y su producto es -84. Encontrar esos números.
8. Un entero y su inverso suman 26/5. Encontrarlo.
9. Dos enteros positivos difieren en 2 unidades y la suma de sus cuadrados es 580. Encontrarlos.
10. El cuadrado de un entero es 6 veces éste. Encontrarlo.
11. Keira da un paseo por el jardín de su casa, el cual es de forma rectangular. Partiendo de una esquina camina diagonalmente hasta la esquina opuesta recorriendo 15 metros. Después regresa al punto de partida caminando por la orilla. En total recorrió 36 metros. Encontrar las dimensiones del jardín de Keira.
12. Las dimensiones de un rectángulo son tres pares consecutivos. Encontrarlas.
13. La suma de las áreas de dos cuadrados es 113 unidades cuadradas y el lado del mayor es una unidad mayor que el del menor. Calcular los lados.
Los saluda
jmd
PD: El lector más ambicioso puede consultar en MaTeTaM los siguientes temas de cuadráticas un poco más avanzados: Sustitucion y Fórmulas de Vieta Vieta