De mis tiempos de escuelante recuerdo dos construcciones geométricas: el triángulo equilátero y el hexágono. Nada más fácil que tomar el compás, abrirlo a la medida del lado y hacer arcos que marcan los vértices. La justificación del por qué funcionan no era algo que se preguntara por el profesor ni era de nuestro interés adolescente.
El estudiante medianamente responsable hace las tareas de acuerdo al procedimiento, interpretado éste de manera literal, y se olvida (mejor dicho, se va con los amigos). Tampoco se preguntaba uno para qué servía eso.
(No se puede esperar de un adolescente que se ponga filosófico. Aunque ahora la pregunta sobre la utilidad de los aprendizajes se ha hecho un cliché que todo mundo suele proferir de manera mecánica. Y también de manera prefabricada, el profesor responderá: "si te refieres a ganar dinero y yo lo supiera no tendría que estar aquí soportando tus preguntas supuestamente ingeniosas --de otra manera, y aprovechando el viaje, te informo que los cursos particulares de filosofía no son por el mismo precio").
Sobre el valor epistémico de las construcciones geométricas
La pregunta sobre su utilidad práctica no es pertinente para las construcciones geométricas. ¿Se han preguntado alguna vez cuál es la utilidad práctica del futbol? ¿de cualquier deporte o juego? ¿por ejemplo del juego del ajedrez? En ese sentido, las construcciones geométricas deben verse más bien como un juego sujeto a ciertas reglas. Y su utilidad debe buscarse en el desarrollo cognitivo del aprendiz. Como dirían los franceses: las construcciones geométricas tienen un valor epistémico (pero --posiblemente-- ninguno pragmático).
En un juego reglado los jugadores se comprometen a seguir las reglas --de otra manera, quien se niega a seguirlas o no puede seguirlas no es admitido en el juego. Y si hay suficientes jugadores que juegan el juego sin seguir las reglas, entonces ya han inventado otro juego. (Hacer trampas en el juego es también un juego --por lo demás muy popular en el ambiente escolar donde todo mundo hace chapuza. Y esa situación tiende a permanecer vigente porque a todo mundo nos conviene... y con "todo mundo" quiero decir administradores, profesores, alumnos y hasta los conserjes... y posiblemente también algunos padres de familia...).
Reglas para las construcciones geométricas
1. Instrumentos permitidos: regla y compás.
2. Con la regla se trazan líneas rectas. No está permitido medir con ella.
3. Con el compás se trazan circunferencias (o arcos de circunferencia).
4. El método de construcción se comunica en forma de pasos bien definidos de manera que, al seguirlos, otra persona logre la misma construcción.
Lo interesante de las construcciones geométricas consiste posiblemente en los múltiples retos que se pueden plantear: "¿podrías construir con regla y compás la figura...?" Y su utilidad (epistémica) empieza cuando una construcción conduce al aprendiz a hacer conexiones con las propiedades de las figuras geométricas: "El procedimiento de construcción de la mediatriz funciona porque las diagonales del rombo se bisecan perpendicularmente."
Dicho de otra manera, el procedimiento (pragmático) de construcción tiene un soporte teórico (epistémico) en el discurso de la geometría en la forma de propiedades de las figuras. Y, por lo menos como un objetivo idealizado, se espera que el aprendiz se pregunte alguna vez sobre ese soporte: "¿por qué funciona el procedimiento?" Y, bueno, se espera que también busque la respuesta. En ese momento, el aprendiz ha sido atraido hacia el discurso teórico de la geometría y, eventualmente, quedará hipnotizado por su belleza.
Las construcciones básicas con regla y compás
1. Copiar, con regla y compás, un segmento de recta dado.
2. Copiar, con regla y compás, un ángulo dado.
3. Copiar, con regla y compás, un triángulo dado.
4. Trazar, con regla y compás, una perpendicular a una recta dada r y que pase por un punto dado P en ella.
5. Trazar, con regla y compás, una perpendicular a una recta dada r y que pase por un punto dado P fuera de ella.
6. Trazar, con regla y compás, la mediatriz de un segmento dado AB.
6'. Trazar, con regla y compás, el punto medio M de un segmento dado AB.
7. Trazar, con regla y compás, la bisectriz de un ángulo dado ABC.
8. Trazar, con regla y compás, la paralela a una recta dada r y que pase por un punto dado P en ella.
9. Trazar, con regla y compás, la paralela a una recta dada r y que pase por un punto dado P fuera de ella.
Ejemplo modelo
Trazar, con regla y compás, un cuadrado dada una de sus diagonales.
Consideraciones previas: En esta construcción se usan algunas de las nueve listadas antes. El ejemplo se plantea para ilustrar la idea de la modularidad de las construcciones: las ya conocidas pueden ser usadas (pueden acoplarse) en una construcción más compleja y desconocida.
Análisis previo (discurso teórico que soporta la construcción): Puesto que una diagonal es dada, ésta debe ser un segmento, digamos, el segmento BD. Entonces lo primero que hay que hacer es copiarlo al lugar donde se va a dibujar el cuadrado. Como se trata de una diagonal de un cuadrado, uno debe preguntarse sobre alguna propiedad de las diagonales de un cuadrado que sea útil para la construcción. (Si no se conoce ninguna lo mejor es buscar en Internet.) La propiedad que viene a la mente en este caso es la siguiente: las diagonales de un cuadrado son congruentes y se bisecan perpendicularmente. Este análisis da lugar al
Método de construcción de un cuadrado dada una de sus diagonales:
Paso 1. Copiar la diagonal. Llamémosle BD.
Paso 2. Trazar la mediatriz de BD. Llamemos M al punto medio de BD.
Paso 3. Con centro en M y radio MD, marcar sobre la mediatriz los dos vértices A y C del cuadrado que faltaban.
Paso 4. Trazar los segmentos AB,BC,CD,DA.
Justificación de la construcción:
La figura resultante al aplicar los cuatro pasos anteriores es un cuadrado porque hemos trazado dos segmentos (BD y AC) congruentes y bisecados perpendicularmente. Y así son las diagonales de un cuadrado. (La cuestión de lados iguales y ángulos iguales se derivan de esta propiedad mediante un análisis de los isósceles que se forman. Se deja como ejercicio para el cibernauta el demostrarlo.)
Los saluda
jmd