Técnica 1: Principio de Casillas

Aquí en esta discusión les mostraré una técnica muy utilizada en la resolución de problemas, el principio consta de que si tenemos n+1 objetos para acomodar en n cajas, entonces se cumplirá que en una caja habrá (despues de acomodar los objetos) al menos dos en una caja. Lo que acabo de mencionar está claro y supongo que no requiere pensarse mucho para convencerse de ello, les mostraré una serie de ejemplos para que vean la utilidad de esta herramienta.

Ejemplo1: Supongamos que elegimos 51 numeros de la serie 1, 2, 3,...,99, 100. Demostrar que almenos dos de ellos no tienen ningun primo en común que los divida.

Solución: Separemos nuestros 100 números en cincuenta parejas, tales que en cada pareja los números sean consecutivos...observemos la separación para que esté claro:

(1,2), (3,4), ..., (99,100) ahi estan nuestras cincuenta parejas, como en problema nos dice que elegimos 51 números...es claro (o fácil de probar) que vamos a tomar al menos una pareja completa, es decir los dos nímeros que la forman. Por otro lado observemos que las parejas son de la forma (k, k+1).

Ahora demostraré que cualesquiera dos numeros consecutivos no tienen ningín divisor primo en común. en este caso sigamos con (k) y (k+1). 

Supongamos que existe un primo p que divide a ambos números a k y a k+1. Entonces p divide a la diferencia de estos, es decir p divide al número:

(k+1)-(k)=1, pero eso es en resultado absurdo, es decir p no puede dividir a 1. De ahi ese primo p que supusimos su existencia no existe. Con esto demostramos que la pareja que tomemos no tiene ningún divisor primo en comun.

Ejemplo 2: Consideremos un cuadrado de lado 1, coloquemos 17 puntos dentro o sobre los lados del cuadrado. Demostar que hay almenos dos puntos que estan a distancia de a lo mas $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Solucion: Es facil demostrar que la diagonal del cuadrado es $\sqrt{2}$ si no se convencen usen pitagoras. Como queremos resolver este problema usando casillas, nos tenemos que hacer dos preguntas....cuales son los objetos?...y cuales son las cajas?

Primero que nada es calro que los objetos son los 17 puntos...pero y las cajas? pues la respuesta a eso es que...hay que construirlas!!! pero cuantas cajas...como? como los objetos a acomodar son 17....(el principio dice n+1) es decir de ahi podemos hacer n=16, es decir dividir nuestro cuadrado en 16 figuras iguales...

Entonces Dividamos nuestro cuadrado en 16 cuadraditos... por el principio de casillas hay almenos 2 puntos en un cuadradito...la distancia maxima en un cuadrado es su diagonal...esto es facil de demostrar....por otro lado la diagonal de los nuevos cuadrados mide $\frac{\sqrt{2}}{4}$ (si no se convencen demuestrenlo usando pitagoras)

Como 2 puntos estan en uno de los nuevos cuadrados y la distancia maxima es conocida...entonces se tiene lo pedido.