Tomemos la bisectriz como el eje $ x $ y al vértice $ A $ como origen.
Supongamos que las coordenadas de $ C $ son $(m, c)$ y las de $ D $ son $(d, 0)$.
Entonces la pendiente de $AC$ es $c/m$ y la de $AB$ es $-c/m$.
De aquí que la ecuación de $AB$ es $-c/m = y/x$.
Lo que sigue es obtener las coordenadas de $ B $, como la intersección de las rectas $AB$ y $CD$. Con eso ya tendríamos las coordenadas de los 4 puntos de interés, y ya podríamos aplicar la fórmula de la distancia para demostrar lo pedido.
Puesto que la ecuación de $CD$ es $c/(m-d) = y/(x-d)$, las coordenadas de $ B $ resultan de resolver la ecuación $$ (x-d)c/(m-d) = -cx/m $$.
De aquí resulta $x = md/(2m-d)$, y en consecuencia $y = -cd/(2m-d)$. En resumen, $$ B = (md/(2m-d), -cd/(2m-d)) $$.
Ahora sólo falta calcular las longitudes $BD, DC, AB$ y $AC$ (y comprobar que se cumple lo pedido):
$BD^2 = [d^2(d-m)^2+c^2d^2]/[(2m-d)^2)]$
$DC^2 = (d-m)^2+c^2$
$AB^2 = m^2+c^2$
$AC^2 = [m^2d^2+c^2d^2]/(2m-d)^2$
Se deja al lector la comprobación de $BD/DC = d/(2m-d) = AB/AC$.
Nota: el lector debe notar que, en el cálculo de las ecuaciones de rectas, basta con igualar pendientes (con los dos puntos y con uno de ellos y un punto genérico); otra recomendación simplificadora es aplicar la fórmula de distancia sin la raíz cuadrada (i.e., calcular la distancia al cuadrado), y si después se necesita obtener la raíz pues se calcula…
Como el lector podrá ver, la demostración de teoremas de geometría usando geometría analítica requiere de tres pasos:
1) elección de los ejes (el paso crítico, pues depende de ello que los cálculos sean más o menos complejos),
2) la aplicación de la herramienta algebraica (la cual, sin embargo, requiere de un plan), y
3) la interpretación de los resultados.
Aparte de eso, el cognizador debería tener mucho cuidado en las manipulaciones algebraicas pues, como se sabe, el álgebra es muy sensible a los errores.
Demostración sintética
La bisectriz $AD$ divide al triángulo $ABC$ en otros dos: $ABD$ y $ACD$. La siguiente demostración se basa en el método de áreas y es por ello instructiva:
Respecto a sus bases $CD$ y $BD$, los dos triángulos $ABD$ y $ACD$ tienen la misma altura, de ahí que la razón de sus áreas sea igual a la razón de sus bases: $(ABD)/(ACD)=BD/CD$. Pero calculando su área de otra forma, y tomando en cuenta que el punto $D$ es equidistante de las bases $AB$ y $AC$, la razón de sus áreas es $AB/AC$. De ahí el resultado.
Demostración trigonométrica
En esta demostración (por ley de los senos) hay que saber que el seno de un ángulo es igual al del ángulo suplementario: $\sin{y}=sin{(\pi-y)}$.
Sea $y$ el ángulo $\angle{ADB}$. Entonces, en el triángulo $ABD$,
$$\frac{BD}{\sin{A/2}}=\frac{AB}{\sin{y}}$$
Y en el triángulo $ACD$,
$$\frac{CD}{\sin{A/2}}=\frac{AC}{\sin{(\pi-y)}}$$
De aquí que
$$\frac{\sin{y}}{\sin{A/2}}=AB/BD=AC/CD$$
Como se quería.
Prueba trigonométrica con semejanza
Desde $B$ y $C$ se bajan perpendiculares a la bisectiz del ángulo $A$. Sean $E$ y $F$ los pies de esas perpendiculares.
Tenemos entonces los triángulos semejantes $BED$ y $CFD$. Por definición del seno de un ángulo y la de bisectriz, $\sin{BAE}=BE/AB=CF/AC$. Es decir, $BE/CF=AB/AC$. Pero, por semejanza, $BE/CF=BD/DC$. Y el resultado se sigue.
