Tomemos la bisectriz como el eje x y al vértice A como origen.
Supongamos que las coordenadas de C son (m,c) y las de D son (d,0).
Entonces la pendiente de AC es c/m y la de AB es −c/m.
De aquí que la ecuación de AB es −c/m=y/x.
Lo que sigue es obtener las coordenadas de B, como la intersección de las rectas AB y CD. Con eso ya tendríamos las coordenadas de los 4 puntos de interés, y ya podríamos aplicar la fórmula de la distancia para demostrar lo pedido.
Puesto que la ecuación de CD es c/(m−d)=y/(x−d), las coordenadas de B resultan de resolver la ecuación (x−d)c/(m−d)=−cx/m.
De aquí resulta x=md/(2m−d), y en consecuencia y=−cd/(2m−d). En resumen, B=(md/(2m−d),−cd/(2m−d)).
Ahora sólo falta calcular las longitudes BD,DC,AB y AC (y comprobar que se cumple lo pedido):
BD2=[d2(d−m)2+c2d2]/[(2m−d)2)]
DC2=(d−m)2+c2
AB2=m2+c2
AC2=[m2d2+c2d2]/(2m−d)2
Se deja al lector la comprobación de BD/DC=d/(2m−d)=AB/AC.
Nota: el lector debe notar que, en el cálculo de las ecuaciones de rectas, basta con igualar pendientes (con los dos puntos y con uno de ellos y un punto genérico); otra recomendación simplificadora es aplicar la fórmula de distancia sin la raíz cuadrada (i.e., calcular la distancia al cuadrado), y si después se necesita obtener la raíz pues se calcula…
Como el lector podrá ver, la demostración de teoremas de geometría usando geometría analítica requiere de tres pasos:
1) elección de los ejes (el paso crítico, pues depende de ello que los cálculos sean más o menos complejos),
2) la aplicación de la herramienta algebraica (la cual, sin embargo, requiere de un plan), y
3) la interpretación de los resultados.
Aparte de eso, el cognizador debería tener mucho cuidado en las manipulaciones algebraicas pues, como se sabe, el álgebra es muy sensible a los errores.
Demostración sintética
La bisectriz AD divide al triángulo ABC en otros dos: ABD y ACD. La siguiente demostración se basa en el método de áreas y es por ello instructiva:
Respecto a sus bases CD y BD, los dos triángulos ABD y ACD tienen la misma altura, de ahí que la razón de sus áreas sea igual a la razón de sus bases: (ABD)/(ACD)=BD/CD. Pero calculando su área de otra forma, y tomando en cuenta que el punto D es equidistante de las bases AB y AC, la razón de sus áreas es AB/AC. De ahí el resultado.
Demostración trigonométrica
En esta demostración (por ley de los senos) hay que saber que el seno de un ángulo es igual al del ángulo suplementario: siny=sin(π−y).
Sea y el ángulo ∠ADB. Entonces, en el triángulo ABD,
BDsinA/2=ABsiny
Y en el triángulo ACD,
CDsinA/2=ACsin(π−y)
De aquí que
sinysinA/2=AB/BD=AC/CD
Como se quería.
Prueba trigonométrica con semejanza
Desde B y C se bajan perpendiculares a la bisectiz del ángulo A. Sean E y F los pies de esas perpendiculares.
Tenemos entonces los triángulos semejantes BED y CFD. Por definición del seno de un ángulo y la de bisectriz, sinBAE=BE/AB=CF/AC. Es decir, BE/CF=AB/AC. Pero, por semejanza, BE/CF=BD/DC. Y el resultado se sigue.
