La clase del Miércoles 11 de agosto

Empezamos con el tema de inducción matemática. Para ello recordamos el Principio del buen orden y lo usamos para probar la Propiedad Arquimediana de los enteros positivos.

Después, enunciamos el principio de inducción matemática y algunas variantes:

Original:
Sea $S$ un subconjunto de los enteros positivos tal que:
(a) 1 está en $S$
(b) Si $k$ está en $S$, entonces, $k+1$ está en S.
Entonces, $S$ debe ser el conjunto de los enteros positivos.

Variante 1:
Sea $S$ un subconjunto de los enteros positivos tal que:
(a) 1 está en $S$
(b) Si $1, 2, \ldots, k$ están en $S$, entonces, $k+1$ está en S.
Entonces, $S$ debe ser el conjunto de los enteros positivos.

Variante 2:
Sea $S$ un subconjunto de los enteros positivos tal que:
(a) $S$ tiene una infinidad de elementos.
(b) Si $k$ están en $S$, entonces, $k-1$ está en S.
Entonces, $S$ debe ser el conjunto de los enteros positivos.

Con la versión original probamos la siguiente identidad: $$1+3+5+ \ldots + (2n-1) = k^2$$

Y con la variante 2 probamos el ejercicio Función convexa aplicada a un promedio