Los problemas del segundo selectivo OMM_Tam_2011

Enviado por jmd el 29 de Septiembre de 2011 - 20:53.

Estos son los problemas de teoría de números del segundo examen selectivo para la preselección Tamaulipas OMM 2011.

Problema 1. Demostrar que $p^2-1$ es divisible entre 24 si $p$ es un primo mayor que 3.

Problema 2. Encontrar todas las ternas de núumeros enteros $(a, b, c)$ que cumplen

$\begin{eqnarray} ab + bc &= 44\\ ac + bc &= 23 \end{eqnarray}$

Problema 3. De los números positivos que pueden ser expresados como suma de 2005 enteros consecutivos, no necesariamente positivos ¿cuál ocupa la posición 2005?

Problema 4. Demostrar que si $n$ es múltiplo de 3, entonces $2^n-1$ es divisible entre 7.

Problema 5. Encontrar una lista de cinco primos distintos donde la diferencia entre cualesquiera dos términos consecutivos de la lista sea siempre seis. Demostrar que esta lista es única.

Problema 6. Demostrar que $6n^3 + 3$ no puede ser una sexta potencia de un entero para ningún $n$ .

Problema 7. Sadhi escribe en una lista números de cuatro dígitos con las siguientes propiedades:

Son múltiplos de 45.
Las cifras 58 se encuentran juntas en alguna parte del número.
4 los divide.

El número favorito de Sadhi es la diferencia entre el mayor y el menor de los núumeros de la lista. ¿Cuál es el número favorito de Sadhi?

Saludos a Sadhi
jmd

PD: atacho los apuntes de Orlando

Adjunto		Descripción	Tamaño
	numeros.pdf	Apuntes de Orlando Ochoa Castillo sobre los temas del entrenamiento a su cargo	152.3 KB
	numeros2.pdf	Apuntes de Orlando con soluciones del examen selectivo	174.24 KB