Cuarto examen selectivo OMM_Tam_2011

 1. Sean $AB$ un diámetro de una circunferencia con centro en $O$, y $C$ un punto sobre ella de manera tal que $OC$ y $AB$ son perpendiculares. Considere un punto $P$ sobre el arco $BC$. Sean $Q$ la intersección de las rectas $CP$ y $AB$, y $R$ la intersección de la recta $AP$ con la recta perpendicular a $AB$ que pasa por $Q$. Demostrar que $BQ = RQ$.

2. Determina el mayor entero positivo $n$ para el cual existe una reordenación $a,b,c,d$ de los números $3,6,9,12$ de manera que 
$$\sqrt[n]{3^a\times6^b\times9^c\times12^d}$$
es un entero.

3. Las calles de cierta ciudad forman una cuadrícula de $m\times n$ manzanas, con $m,n$ enteros positivos (la orilla de la ciudad también está formada por calles). El alcalde desea asignar un sentido a cada una de las calles, con la única condición de que cada calle completa tenga el mismo sentido a lo largo de toda la ciudad. Decimos que una asignación es aceptable si permite que para cualesquiera dos intersecciones $A, B$ de la ciudad, un automóvil pueda llegar de $A$ a $B$ respetando los sentidos de las calles.¿Cuántas asignaciones aceptables puede hacer el alcalde?

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