Resultados (y problemas) del examen selectivo 3 OMM_Tam_2011

 La suerte está echada. Hagan sus cuentas.

Los problemas son los siguientes:

1. Un maestro de matemáticas avisa a sus alumnos que preguntará la demostración de tres de los ocho teoremas vistos en clase en el examen del siguiente día. De esos tres teoremas se podrá elegir cuál demostrar.
a) Un alumno decide estudiar solamente cuatro de los teoremas. ¿En cuántos
casos al menos uno de estos aparecerá en el examen?
b) ¿Cuál es el menor número de teoremas que un estudiante debe aprender
para asegurar que será capaz de demostrar alguno en el examen?

2. En un condominio serán construidas seis casas de un mismo lado de una calle. Las casas pueden ser de ladrillo o de madera, pero como medida de seguridad contra incendios, dos casas de madera no pueden ser vecinas. ¿De cuántas formas se puede planear la construcción de las casas de este condominio?

3. Se tienen 60 cajas numeradas del 1 al 60 y 60 pelotas numeradas del 1 al 60.
a) ¿De cuántas formas se puede colocar exactamente una pelota en cada caja
de manera que en cada caja cuyo número sea múltiplo de 3 quede una
pelota cuyo número también es múltiplo de 3?
b) ¿De cuántas formas se puede colocar exactamente una pelota en cada caja
de manera que en cada caja cuyo número sea múltiplo de 3 quede una
pelota cuyo número también es múltiplo de 3 y que en cada caja cuyo
número sea par quede una pelota cuyo número también es par?

4. A un conjunto C se le llama cotorro si la suma de sus elementos es un múltiplo de 5. Por ejemplo, el conjunto $C = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ es un conjunto cotorro. ¿Cuántos conjuntos cotorros de 31 elementos hay si cada uno de estos toma un valor entre 1 y 35?

5. Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales es posible dividir un triángulo equilátero en $n$ triángulos equiláteros (no necesariamente del mismo tamaño).

6. Se tienen 51 hormigas dentro de un cuadrado de lado 1. Demuestra que en
cualquier momento es posible encerrar tres hormigas dentro de un círculo de
radio 1/5 .

7. Demuestra que si se eligen 10 números naturales distintos entre 1 y 15 inclusive, se habrán seleccionado dos números $a,b$ tales que $ab+1$ o $4ab+1$ es un cuadrado perfecto.

Las soluciones van atachadas (las gracias le sean dadas a Abraham por enviarlas).

Los saluda

jmd

Adjunto		Descripción	Tamaño
	res_sel_3.pdf	Resultados del examen selectivo 3 problema por problema	63.6 KB
	ExamenTamps.pdf	Examen selectivo 3 con soluciones	111.61 KB