Aquí van los problemas del segundo día del concurso nacional de la XXV Olimpiada Mexicana de Matemáticas, la cual se celebra en la ciudad de San Luis Potosí. (Las gracias le sean dadas a Orlando Ochoa por el envío.)
Problema 1. Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre cada uno de los números del 1 al 9.
Nota: Un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos es el 2202022002.
Problema 2. Una cuadrícula con lados de longitudes $(2^n - 1)$ y $(2^n + 1)$ se quiere dividir en rectáangulos ajenos con lados sobre líneas de la cuadrícula y con un número de cuadraditos de $1\times1$ dentro del rectángulo igual a una potencia de 2. Encuentra la menor cantidad de rectángulos en los que se puede dividir la cuadrícula.
Nota: El 1 es considerado una potencia de 2, pues $2^0 = 1$.
Problema 3. Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideremos un punto $C$ sobre la recta $AB$ de modo que $B$ quede entre $A$ y $C$. Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $C_1$ y $C_2$, respectivamente, tales que $CP$ es tangente a $C_1$, $CQ$ es tangente a $C_2$, $P$ no está dentro de $C_2$ y $Q$ no está dentro de $C_1$. La recta $PQ$ corta de nuevo a $C_1$ en $R$ y a $C_2$ en $S$, ambos puntos distintos de $B$. Supongamos que $CR$ corta de nuevo a $C_1$ en $X$ y $CS$ corta de nuevo a $C_2$ en $Y$ . Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$ . Muestra que $SZ$ es paralela a $QX$ si y sólo si $PZ$ es paralela a $RX$.
Los saluda
jmd
PD: Atacho el archivo enviado por Orlando... y la foto de la hoja de problemas
| Adjunto | Descripción | Tamaño | |
|---|---|---|---|
 | nacional2.pdf | Problemas del segundo día del concurso nacional correspondiente a la XXV Olimpiada Mexicana de Matemáticas | 101.52 KB |
| XXV_OMM_dia2.pdf | Problemas del segundo día (hoja oficial, tomada de OMMfacebook) | 153.29 KB |
Bnos días, podrían verificar
Bnos días, podrían verificar esta solución para el 6 para ver si no tiene algún inconveniente.
Llamemos a los ángulos PSC=w, QPC=x, QRC=z, usando que CP=CQ, por potencia de punto, y ángulos inscritos y semi-inscritos en los arcos PR y QS tenemos los ángulos PQC=RXP=SYQ=x, RCP=z-x, SCQ=w-x, observando los cuadriláteros cíclicos YPCQ y XPCQ tenemos los ángulos YPQ=w-x, XQP=z-x, PYS=QXR=x, con lo que vemos más claro el cuadrilátero cíclico YXPQ obteniendo los ángulos YXQ=w-x, XYP=z-x.
Entonces SZ es paralela a QX si y sólo si el ángulo ZSP=z-x si y sólo si el cuadrilátero YZPS es cíclico si y sólo si el ángulo YZP=w (por el ángulo PSC=w) si y sólo si PZ es paralela a RX.
Saludos...
Esta es la tercera ocasión
Esta es la tercera ocasión que intento escribir este comentario.
Bueno, pues me gusta la solución, sólo creo que faltó justificar un poco más el último "si y sólo si":
La razón que encontré para justificar la veracidad de esta equivalencia es a través de observar que el ángulo $\angle RXY = w$, lo cuál no se había señalado antes. Pero con esa observación, pues sí, $PZ || RX$ si sólo si $\angle YZP = \angle RXY $ si y sólo si $\angle YZP= w$.
Saludos y creo que fue una demostración muy elegante.
Perfecto. La cadena "si y
Perfecto. La cadena "si y sólo si" final es genial. Esperemos la opinión de Jesús... por lo pronto aporto la figura...
Asi es, por el ángulo RXY=w
Asi es, por el ángulo RXY=w era con lo que se concluía el último si y sólo si, que de hecho era claro en la figura por eso ni lo puse, y esta es la parte donde me dices: si ni figura subiste.., pero tienes razón, no hubiera sobrado ponerlo en la redacción.
Gracias por el comentario, saludos...