XIV ONMAPS (primer día)

Esta semana se realizó en Mazatlán la XIV Olimpiada de Matemáticas para Alumnos de Primaria y Secundaria (ONMAPS). El lunes 19 los concursantes resolvieron la primera parte, y el martes la segunda. En cada una, el examen consistió de 6 problemas y los concursantes debían resolver 3 según su nivel o categoría:

Primaria resolvió los problemas 1,2,3.
Primer grado los problemas 2,3,4.
Segundo grado los problemas 3,4,5.
Tercer grado los problemas 4,5,6.

Los problemas del primer día son los siguientes:

1.1. Se forman tres números enteros de tres cifras, abc,def,ghi, donde cada letra representa un dígito del 1 al 9 sin que se repitan. Si la suma de los tres números termina en 65 ¿cuál es el valor de dicha suma?

1.2. Se dice que un número de cuatro cifras diferentes entre sí y distintas de cero es Mazatleco si al eliminar la mayir y la menor de las cifras, las dos restantes suman 10. ¿Cuántos números Mazatlecos hay?

1.3. Sean ABCDEF un hexágono regular y M el punto medio del lado AB. Si O es el punto donde se cruzan los segmentos AD y ME ¿qué parte del área del hexágono es el área del triángulo OMD?

1.4. Julio hace una lista con los números que cumplen las siguientes condiciones:
--El número es de ocho cifras, todas diferentes.
--Es múltiplo de 8.
--Cada dos cifras adyacentes en el número forman un nuevo número que es múltiplo de 7 o de 13, aunque no necesariamente todos múltiplos del mismo número.
Encuentra los números de la lista de Julio.

1.5. Heberto tiene en su colección de figuras de acción de superhéroes dos Hulk, dos Superman,dos Ironman, dos Batman que quiere acomodar en línea sobre una repisa. Quiere que entre cada dos superhéroes iguales haya una cantidad diferente de figuras. Por ejemplo, si hay tres figuras entre los dos Hulk, no podría haber tres figuras entre los dos Batman. De cuántas maneras diferentes puede haer esto?

1.6. Sean ABC un triángulo acutángulo, H su ortocentro y M el punto medio de BC. La perpendicular a MH por H corta a AB en L y a AC en N. Demuestra que LH=HN.

jmd los saluda