1. La forma del funcional sugiere un binomio al cuadrado…
p(x+1)=p(x)+2x+1=f(x)+x^2+2x+1=f(x)+(x+1)^2
Pero hemos hecho el cambio de función p(x)=f(x)+x^2. Entonces:
f(x+1)+(x+1)^2=f(x)+(x+1)^2 y se obtiene f(x+1)=f(x), es decir, f(x) es una constante. En consecuencia los polinomios que satisfacen la ecuación funcional dada tienen la forma p(x)=k+x^2, donde k es una constante.
2. f(x+1)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=(x+1-2)(x+1-3) En consecuencia, f(x)=(x-2)(x-3). Otra forma: hacemos el cambio de variable t=x+1, de donde x=t-1. Sustituyendo se obtiene: f(t)=(t-2)(t-3).
3. Con el cambio de variable t=(x+1)/x, x= 1/(t-1). Así que f(t)=t^2-t+1
4. f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y) sugiere una función exponencial. tratemos de lograr la configuración de ”… y los exponentes se suman.”
[f(x)+1][f(y)+1]=f(x)f(y)+f(x)+f(y)+1=f(x+y)+1 y ya casi está. Hagamos ahora el siguiente cambio funcional: f(x)+1=g(x) o g(x)-1=f(x). Entonces: g(x)g(y)=g(x+y) y entonces g debe ser de la forma g(x)=k^x. Así que regresando a f se tiene: f(x)=k^x-1.
