Ejercicios sobre inducción matemática

El n-ésimo número triangular $T_{n}$ se define como la suma de los primeros $n$ enteros.

• Demostrar por inducción que  $T_{n}=n( n + 1)/2.$
• Demostrar algebraicamente, usando la fórmula anterior, que $n^{3}+(1+2+\cdots +(n - 1))^{2}= (1+2+\cdots+(n-1)+ n)^{2}.$
• Usando la identidad anterior conjeture una fórmula para $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdots+ n^{3}$ y demuéstrela por inducción.