Ni primo ni cuadrado

La primera parte.

Supongamos que $5n+3=x^2$ entonces $5n=x^2-3\equiv0(mód5)$ entonces $x^2\equiv3(mód5)$. Pero es conocido que ningún cuadrado deja resto $3  (mód5)$ por lo que $5n+3$, no es cuadrado perfecto.

La segunda parte se ve algo más complicada..... Aún no me sale.

ahi va mi primer comentario:

sabemos que:

• 2n+1=$a^2$ y 3n+1=$b^2$,igualando a N las 2 expresiones tenemos:
• n=$b^2$-$a^2$ y n= $\frac{a^2+b^2-2}{5}$
• $b^2$-$a^2$= $\frac{a^2+b^2-2}{5}$ y despues con algebra obtenemos:
• 2$b^2$+1=3$a^2$ y restando $b^2$ y sumando $a^2$ a las 2 expresiones...
• $a^2$+$b^2$+1=4$a^2$-$b^2$=(2a-b)(2a+b)=5n+3y como 2a-b>1 se concluye que 5n+3 no es primo.