Problema de suma con raices

Tomemos cada sumando de la expresión izquierda de la igualdad y multipliquémoslo y dividámoslo por el conjugado de su denominador. De esta forma tenemos que:

$$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+ \cdots + \frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2008}}$$

$$= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{2-1} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3-2} + \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{4-3}+ \cdots + \frac{\sqrt{2008} - \sqrt{2007}}{2008-2007}$$

 

El denominador de cada sumando es 1 y vemos que se forma una suma telescópica entre los numeradores, de tal forma que la suma se simplifica a

$=\sqrt{2008}-\sqrt{1} = \sqrt{4 \dot 502}-1 = 2\sqrt{502}-1$