Una sucesión no acotada

Considere la sucesión $a_0, a_1, a_2,\dots$ de enteros construida como sigue:

1. $a_0>5$ es impar,
2. $a_n$ es par,
3. y $a_n$es impar.

Demostrar que la sucesión es no acotada.

Experimentando con $a_0 =7$ es 7, 44, 22, 11, 116, 58, 29, 836, 418, 209, etc)

Y también es posible sospechar de ese experimento que la sucesión que es realmente creciente es $a_{3n}$ (digo, si va a ser no acotada debe tener una subsucesión creciente, y saber este hecho matemático es lo que permite buscar la subsucesión creciente).

Demostremos primero la primera conjetura. Es decir, si $a_{3k+1}$ es divisible entre 4 pero no entre 8.

Probemos por inducción que $a_{3k+3}$ también lo es.

Claramente $a_{3k+1}$es divisible entre 4 pero no entre 8” da la respuesta. Porque sugiere utilizar residuos módulo 8.

$a_{3k+1} = a_{3k}^2-5 \equiv 1-5 \equiv -4 (\textrm{mod 8})$

( dado que el cuadrado de un impar es congruente con 1 módulo 8, y por hipótesis de inducción $a_{3k}$ es impar).

Y esto significa precisamente que $a_{3k+3}$ es impar.

Observemos que:

$$a_{3k+3}=\frac{a_{3k+2}}{2}=\frac{a_{3k+1}}{4}=\frac{a_{3k}^2-5}{4}$$ .

Queremos demostrar que $a_{3k+3}=(a_{3k}^2-5)/4$. Por lo que deseamos demostrar que:

$\frac{a_{3k}^2-5}{4} > a_{3k}$

Pero esto es cierto si y sólo si

$a_{3k}^2- 4 a_{3k}-5 >0$

Que es lo mismo que

$(a_{3k}+1) (a_{3k}-5) >0$

Pero esta desigualdad es cierta siempre y cuando $a_{3k+3}>a_{3k}$.

Ahora bien, probemos que $a_{3k+3}>5$. Y esto termina la prueba.