Primero una definiciones. Como ssn es aritmética, entonces la diferencia de dos elementos consecutivos es constante. Definamos b como dicha diferencia b:=ssn+1−ssn.
De igual manera, para la sucesión ssn+1 definamos b′ como b′:=ssn+1+1−ssn+1.
Bueno tanto b como b′ son constantes. Con esta notación se pueden calcular los términos de las sucesiones
SSn=SS1+(n−1)b
SSn+1=SS1+1+(n−1)b′
y nuestro primer objetivo será demostrar que b=b′.
Demostración de la igualdad
Como Sn es una sucesión creciente, se obseva rápidamente que: SSn<SSn+1≤SSn+1
.
Es decir, de primera deigualdad se tiene que SS1+(n−1)b<SS1+1+(n−1)b′Para todo entero positivon
y de la segunda se tiene que
SS1+1+(n−1)b′<SS1+1+nbPara todo entero positivon
Dividiendo entre n estas dos desigualdades y tomando los límetes cuando n tiende a infinito se llega a que b≤b′ y que b′≤b, es decir, b=b′ como se quería. Se podría evitar el uso de los límites usando con contradicción, se supone que b>b′ y se concluye que debe haber una cota para n lo que contradice que la desigualdad era para toda n.
Una consecuencia importante de esta igualdad es que la direncia SSn+1−SSnes constante…(1)
Estrategia
Definamos Δn:=Sn+1−Sn, si demostramos que la sucesión Δn es constante se concluye que Sn es aritmética. Observemos que con esta notación la afirmación (1) se escribe así: ΔSnes constante.…(1′)
Ahora bien, definamos Δmin=m\'inimo{Δn} y Δmax=m\'aximo{Δn}. Nota, en principio, Δmax podría ser inifinito pero no sucede así ya que Δn es menor que d para n≥S1. Para ver esto último, basta recordar que b es la direncia de elementos consecutivos en una subsucesión de Sn.
Nuestra estrategia será demostrar que Δmin=Δmax.
La pieza clave
Con todo lo que tenemos hasta el momento, aun no nos es posible demostrar lo deseado. Necesitamos algo más, y ese algo más es la siguiente identidad:
ΔSn+ΔSn+1+⋯+ΔSn+1−1=b…(2)
Usando el símbolo de sumas esto se escribe así:
Sn+1−1∑k=SnΔk=b…(3)
Esta identidad se da de forma natural, de hecho es una suma telescópica y en general se da la siguiente identidad:
b∑k=aΔk=Sb+1−Sa con b≥a
.
Bueno, aquí lo importante es la identidad (3), o lo que es lo mismo, la identidad (2). Notemos que el número de sumandos de la identidad (3) es exactamente Δn.
Demostración (uniendo las piezas)
Por definición se tiene que Δmax≥Δk≥Δmin para toda k. Esto, aplicado a la identidad (3) nos lleva a que:
Δn⋅Δmax≥b≥Δn⋅Δmin…(4)
Como las desigualdades de (4) son para todo valor de n también serán ciertas para n=m y n=M tales que Δm=Δmin y ΔM=Δmax.
Usando ahora la primer desigualdad de (4) para n=m y la segunda desigualdad para n=m se llega a que Δmin⋅Δmax=b.
Aquí, ya estamos muy cerca de demostrar lo que queremos. Observemos que en la primera desigualdad de (4) (también en la segunda) la igualdad se da cuando todos los sumando Δk que aparecen (3) tienen que ser iguales a Δmax (a Δmin en la segunda desigualdad). Entonces, como para n=M se tiene la igualdad, entonces se concluye Δk=Δmax para k entre §M y SM+1, en particular ΔSM=Δmax…(5).
Análogamente
ΔSm=Δmin…(6)
Pero por (1') se sabe que ΔSm=ΔSM, y por lo tanto Δmax=Δmin como se quería.
Me costó bastante esfuerzo
Me costó bastante esfuerzo sacarlo, apenas antier lo pude hacer. No he visto la solución oficial a ver que tal está. Seguramente más cortas, pues aquí traté de explicar muchos detalles. Realmente era un problema difícil.