IMO 2009, Problema 3

Primero una definiciones. Como $s_{s_n}$ es aritmética, entonces la diferencia de dos elementos consecutivos es constante. Definamos  $ b$ como dicha diferencia $$b := s_{s_{n+1}} -s_{s_n}.$$

De igual manera, para la sucesión $s_{s_n+1}$ definamos $ b'$ como  $$b' := s_{s_{n+1}+1} - s_{s_n+1}.$$

Bueno tanto $ b$ como $ b'$ son constantes. Con esta notación se pueden calcular los términos de las sucesiones

$$S_{S_n} = S_{S_1} + (n-1)b$$

$$S_{S_n+1} = S_{S_1+1} + (n-1)b'$$

y nuestro primer objetivo será demostrar que $b = b'$.

Demostración de la igualdad

Como $S_n$ es una sucesión creciente, se obseva rápidamente que: $$S_{S_n} < S_{S_n+1} \leq S_{S_{n+1}}$$.

Es decir, de primera deigualdad se tiene que $$S_{S_1} + (n-1)b < S_{S_1+1} + (n-1)b' \qquad \textrm{Para todo entero positivo} n $$ y de la segunda se tiene que $$S_{S_1+1} + (n-1)b' < S_{S_1+1} + nb \qquad \textrm{Para todo entero positivo} n $$

Dividiendo entre $n$ estas dos desigualdades y tomando los límetes cuando $ n$ tiende a infinito se llega a que $b \leq b'$ y que $b' \leq b$, es decir, $ b =b'$ como se quería. Se podría evitar el uso de los límites usando con contradicción, se supone que $ b > b'$ y se concluye que debe haber una cota para $ n$ lo que contradice que la desigualdad era para toda $ n$.

Una consecuencia importante de esta igualdad es que la direncia $$S_{S_n+1} - S_{S_n} \textrm{es constante} \ldots (1)$$
 

Estrategia

Definamos $\Delta_n := S_{n+1} - S_n$, si demostramos que la sucesión $\Delta_n$ es constante se concluye que $S_n$ es aritmética. Observemos que con esta notación la afirmación (1) se escribe así: $$\Delta_{S_n} \textrm{es constante.} \ldots (1')$$

Ahora bien, definamos $\Delta_{min} = \textrm{m\'inimo} \{ \Delta_n \}$ y $\Delta_{max} = \textrm{m\'aximo} \{ \Delta_n \}$. Nota, en principio, $\Delta_{max}$ podría ser inifinito pero no sucede así ya que $\Delta_n$ es menor que $ d$ para $ n \geq S_1$. Para ver esto último, basta recordar que $ b$ es la direncia de elementos consecutivos en una subsucesión de $S_n$.

Nuestra estrategia será demostrar que $\Delta_{min} = \Delta_{max}$.
 

La pieza clave

Con todo lo que tenemos hasta el momento, aun no nos es posible demostrar lo deseado. Necesitamos algo más, y ese algo más es la siguiente identidad:

$$\Delta_{S_n} + \Delta_{S_n+1} + \cdots + \Delta_{S_{n+1} -1} = b \ldots (2)$$

Usando el símbolo de sumas esto se escribe así:

$$\sum_{k=S_n}^{S_{n+1}-1} \Delta_k = b \ldots (3)$$

Esta identidad se da de forma natural, de hecho es una suma telescópica y  en general se da la siguiente identidad:

$$\sum_{k=a}^{b} \Delta_k = S_{b+1} - S_a \qquad \textrm{ con } b \geq a$$.

Bueno, aquí lo importante es la identidad (3), o lo que es lo mismo, la identidad (2). Notemos que el número de sumandos de la identidad (3) es exactamente $\Delta_n$.

Demostración (uniendo las piezas)

Por definición se tiene que $\Delta_{max} \geq \Delta_k \geq \Delta_{min}$ para toda $ k$. Esto, aplicado a la identidad (3) nos lleva a que:

$$\Delta_n \cdot \Delta_{max} \geq b \geq \Delta_n \cdot \Delta_{min} \ldots (4)$$

Como las desigualdades de (4) son para todo valor de $ n$ también serán ciertas para  $n = m$ y $n=M$ tales que $\Delta_{m} = \Delta_{min} $ y $\Delta_{M} = \Delta_{max}$.

Usando ahora la primer desigualdad de (4) para $n=m$ y la segunda desigualdad para $n=m$ se llega a que $$\Delta_{min} \cdot \Delta_{max} = b.$$
 

Aquí, ya estamos muy cerca de demostrar lo que queremos. Observemos que en la primera desigualdad de (4) (también en la segunda) la igualdad se da cuando todos los sumando $\Delta_k$ que aparecen  (3) tienen que ser iguales a $\Delta_{max}$ (a $\Delta_{min}$ en la segunda desigualdad). Entonces, como para $n=M$ se tiene la igualdad, entonces  se concluye  $\Delta_k = \Delta_{max}$ para $ k$ entre $\S_{M}$ y $S_{M}+1$, en particular $$\Delta_{S_M} = \Delta_{max} \ldots (5).$$

Análogamente

$$\Delta_{S_m} = \Delta_{min} \ldots (6)$$

Pero por (1') se sabe que $\Delta_{S_m} = \Delta_{S_M}$, y por lo tanto $\Delta_{max} = \Delta_{min}$ como se quería.